(2 pontos) Calcule
, em que
está orientado no sentido antihorário.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de contorno da função
em torno do círculo
definido por
, orientado no sentido antihorário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pólos da função
. Pólos são os valores de
que fazem o denominador ser zero, ou seja, onde a função não está definida.
Então, os pólos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno
onde
. Como
e
, ambos os pólos estão dentro do círculo de raio 2.
Passo 4
Com os pólos identificados dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função em cada pólo. O resíduo de uma função em um pólo simples
é dado por:
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:
Resposta
A integral
é igual a 0.