(2 pontos) Calcule integralC z^2z^2-1, em que C=z| | z mid=2 está orientado no sentido antihorário.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de contorno da função em torno do círculo definido por , orientado no sentido antihorário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função z^2 - 1 = 0 implies z^2 = 1 implies z = pm 1 . Pólos são os valores de que fazem o denominador ser zero, ou seja, onde a função não está definida.
Então, os pólos são e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno onde . Como e , ambos os pólos estão dentro do círculo de raio 2.

Passo 4

Com os pólos identificados dentro do contorno, vamos calcular o resíduo da função em cada pólo. O resíduo de uma função em um pólo simples Res( z^2z^2-1, a ) = limz to a (z - a) z^2z^2-1 é dado por:
Res( z^2z^2-1, 1 ) = limz to 1 (z - 1) z^2(z - 1)(z + 1) = limz to 1 z^2z + 1 = 12
Para Res( z^2z^2-1, -1 ) = limz to -1 (z + 1) z^2(z - 1)(z + 1) = limz to -1 z^2z - 1 = 1-2 = -12 :
Para :

Passo 5

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral de contorno é igual a integralC z^2z^2-1 , dz = 2pi i ( 12 + (-12) ) = 2pi i times 0 = 0 vezes a soma dos resíduos dentro do contorno:

Resposta

A integral é igual a 0.

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