Calcule: integral 1raizx^2+2 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . A matéria que estamos usando aqui é cálculo integral, mais especificamente integração envolvendo radicais de polinômios quadráticos. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado dentro da raiz: x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1 . Para completar o quadrado, pegamos os primeiros dois termos e adicionamos e subtraímos . Assim:

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral 1raiz(x + 1)^2 + 1 , dx
Essa forma é mais fácil de integrar porque se assemelha à fórmula de integração .

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja integral 1raizu^2 + 1 , du , então . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula que mencionamos:
integral 1raizu^2 + 1 , du = ln|u + raizu^2 + 1| + C

Passo 6

Voltando à variável original ln|x + 1 + raiz(x + 1)^2 + 1| + C , já que raiz(x + 1)^2 + 1 = raizx^2 + 2x + 2 :
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Resposta

Portanto, a integral é:
ln|x + 1 + raizx^2 + 2x + 2| + C

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