Calcule os limites das funções abaixo.
i) lim x -1 4-raizx^2+x+16x^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função . Esse exercício está no conteúdo de limites, uma parte importante do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez usar algumas técnicas de álgebra para lidar com a parte da raiz e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos diretamente na função:
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de 4 - raizx^2 + x + 16x^3 + 1 times 4 + raizx^2 + x + 164 + raizx^2 + x + 16 é . Isso ajuda a remover a raiz do numerador.
Então, vamos multiplicar:

Passo 4

Multiplicando os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(4 - raizx^2 + x + 16)(4 + raizx^2 + x + 16) = 4^2 - (raizx^2 + x + 16)^2 = 16 - (x^2 + x + 16) = 16 - x^2 - x - 16 = -x^2 - x
Denominador:
(x^3 + 1)(4 + raizx^2 + x + 16)
Então, a expressão fica:
-x^2 - x(x^3 + 1)(4 + raizx^2 + x + 16)

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador -x(x + 1) . Podemos fatorar um x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) :
-x(x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(4 + raizx^2 + x + 16)
E o denominador é uma soma de cubos, que pode ser fatorada assim:
Então, substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, percebemos que -x(x^2 - x + 1)(4 + raizx^2 + x + 16) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido porque estamos considerando o limite quando se aproxima de ):

Passo 7

Agora, podemos substituir (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 na expressão simplificada:
Primeiro, calcule raiz(-1)^2 + (-1) + 16 = raiz1 - 1 + 16 = raiz16 = 4 quando -(-1)(3)(4 + 4) = 13 times 8 = 124 :
Em seguida, calcule quando :
Agora, substitua na expressão:

Resposta

O limite da função quando se aproxima de é .

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