Calcule os limites das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
. Esse exercício está no conteúdo de limites, uma parte importante do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e talvez usar algumas técnicas de álgebra para lidar com a parte da raiz e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos
diretamente na função:
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Isso ajuda a remover a raiz do numerador.
Então, vamos multiplicar:
Passo 4
Multiplicando os numeradores e os denominadores:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o numerador
. Podemos fatorar um
:
E o denominador
é uma soma de cubos, que pode ser fatorada assim:
Então, substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, percebemos que
aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que
, o que é válido porque estamos considerando o limite quando
se aproxima de
):
Passo 7
Agora, podemos substituir
na expressão simplificada:
Primeiro, calcule
quando
:
Em seguida, calcule
quando
:
Agora, substitua na expressão:
Resposta
O limite da função quando
se aproxima de
é
.