Calcule os limites das funções abaixo.
j)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente quer calcular o limite da função quando
se aproxima de 8. A função é:
Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver que tipo de limite temos:
No denominador:
Então, obtemos a forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos aplicar a regra de L’Hôpital para continuar.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que, se temos:
Então, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
Vamos aplicar isso na nossa função.
Passo 4
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na expressão do limite:
Passo 6
Vamos substituir
na nova expressão:
Primeiro, calculemos
:
E
. Então:
Passo 7
Para simplificar a fração e tirar a raiz do denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Resposta
O limite é
.