Calcule os limites das funções abaixo.
j) lim x 8 raizx-2 raiz2(x+19)^13-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente quer calcular o limite da função quando lim x 8 raizx-2 raiz2(x+19)^13-3 se aproxima de 8. A função é:
Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz8 - 2raiz2 = 2raiz2 - 2raiz2 = 0 diretamente na função para ver que tipo de limite temos:
(8 + 19)^13 - 3 = 27^13 - 3 = 3 - 3 = 0
No denominador:
Então, obtemos a forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos aplicar a regra de L’Hôpital para continuar.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que, se temos:
limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
Então, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Vamos aplicar isso na nossa função.

Passo 4

Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador: ddx raizx = 12 x^-12 = 12raizx
ddx (x+19)^13 = 13 (x+19)^-23 = 13(x+19)^23
Denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na expressão do limite:
lim x 8 12raizx13(x+19)^23 = lim x 8 3(x+19)^232raizx

Passo 6

Vamos substituir 27^23 = (27^13)^2 = 3^2 = 9 na nova expressão:
Primeiro, calculemos 3 times 92 times 2raiz2 = 274raiz2 :
E . Então:

Passo 7

Para simplificar a fração e tirar a raiz do denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por 274raiz2 times raiz2raiz2 = 27raiz28 :

Resposta

O limite é .

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