Calcule integral 1raizx^2-a^2 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 1raizx^2-a^2 , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as técnicas de substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da integral. Temos 1raizx^2-a^2, que se assemelha a uma expressão onde x^2 - a^2 está sob a raiz quadrada. Esse tipo de expressão sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica envolvendo a função coseno hiperbólico ou uma substituição direta com trigonometria.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
x = a sec(theta)
Isso porque sec(theta) = 1cos(theta), e isso nos ajudará a simplificar a expressão sob a raiz.

Passo 4

Calculamos o diferencial de x:
dx = a sec(theta) tan(theta) , dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 1raiz(a sec(theta))^2 - a^2 cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiza^2 sec^2(theta) - a^2 = raiza^2(sec^2(theta) - 1) = a tan(theta)
Então, a integral fica:
integral 1a tan(theta) cdot a sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral sec(theta) , dtheta

Passo 6

A integral de sec(theta) é conhecida:
integral sec(theta) , dtheta = ln|sec(theta) + tan(theta)| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original x. Sabemos que:
x = a sec(theta) Rightarrow sec(theta) = xa Rightarrow cos(theta) = ax
E:
tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(xa)^2 - 1 = raizx^2 - a^2a

Passo 8

Substituindo sec(theta) e tan(theta) de volta na expressão:
ln|xa + raizx^2 - a^2a| + C = ln|x + raizx^2 - a^2a| + C
Podemos simplificar retirando o logaritmo da fração:
ln|x + raizx^2 - a^2| - ln|a| + C
Como ln|a| pode ser incorporado na constante C, temos:

Resposta

integral 1raizx^2-a^2 , dx = ln|x + raizx^2 - a^2| + C

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