Determine o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento da curva definida pela função $ y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln x}{4} $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva. Vamos precisar derivar a função, calcular a integral definida da raiz de $ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 $ de 1 a 2.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y $ em relação a $ x $. A função é $ y = \frac{x^{2}}{2} - \frac{\ln x}{4} $.
Derivando cada termo:
- A derivada de $ \frac{x^{2}}{2} $ em relação a $ x $ é $ x $.
- A derivada de $ \frac{\ln x}{4} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{4x} $.
Então, a derivada total $ \frac{dy}{dx} $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 $:
Então, adicionamos 1 a esse resultado para a fórmula do comprimento da curva:
Passo 4
O próximo passo é configurar a integral que nos dará o comprimento da curva. A fórmula geral para o comprimento da curva de $ x = a $ a $ x = b $ é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar os cálculos:
Essa forma nos ajuda a entender que a integral pode não ter uma solução elementar simples, então vamos proceder com uma aproximação numérica para calcular o valor.
Passo 6
Usando métodos numéricos ou uma calculadora científica, podemos aproximar o valor da integral. Após realizar os cálculos, obtemos:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente 1,823 unidades.