Determine a área da superfície obtida girando a curva em torno do eixo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que forma quando a curva dada gira ao redor do eixo $ y $. A equação da curva é parametrizada por:
O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente o cálculo de área de superfície para curvas paramétricas rotacionadas em torno de um eixo. Vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para parametrizações e entender como derivar as expressões necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva paramétrica em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
Aqui, $ x(\theta) $ é a função que nos dá a coordenada $ x $ em termos de $ \theta $, e $ y(\theta) $ a coordenada $ y $. A gente vai precisar calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ \theta $, então vamos lá!
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{dx}{d\theta} $ e $ \frac{dy}{d\theta} $. Dado que:
A derivada de $ x $ em relação a $ \theta $ é:
E a derivada de $ y $ em relação a $ \theta $ é:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão dentro da raiz da fórmula da área:
Calculando cada termo:
Somando os dois:
Como $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $, simplifica para:
Então, a raiz fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na fórmula da área:
Sabemos que $ x(\theta) = a \cos^{3} \theta $, então:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar $ u = \cos \theta $, então $ du = -\sin \theta , d\theta $. Alterando os limites:
Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $;
Quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $.
Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $;
Quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $.
A integral fica:
Integrando:
Resposta
A área da superfície obtida é $ \frac{6\pi a^{2}}{5} $.