Determine a área da superfície obtida girando a curva em torno do eixo y.
x=a cos ^3 theta, y=a sen^3 theta, 0 <= theta <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície que forma quando a curva dada gira ao redor do eixo $ y $. A equação da curva é parametrizada por:
y
O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente o cálculo de área de superfície para curvas paramétricas rotacionadas em torno de um eixo. Vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para parametrizações e entender como derivar as expressões necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva paramétrica em torno do eixo $ y $. A fórmula é:
y
Aqui, $ x(\theta) $ é a função que nos dá a coordenada $ x $ em termos de $ \theta $, e $ y(\theta) $ a coordenada $ y $. A gente vai precisar calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ \theta $, então vamos lá!

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{dx}{d\theta} $ e $ \frac{dy}{d\theta} $. Dado que:
dxdtheta
A derivada de $ x $ em relação a $ \theta $ é:
dydtheta
E a derivada de $ y $ em relação a $ \theta $ é:
x = a cos^3 theta e y = a sin^3 theta

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão dentro da raiz da fórmula da área:
raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 = raiz(-3a cos^2 theta sin theta)^2 + (3a sin^2 theta cos theta)^2
Calculando cada termo:
(-3a cos^2 theta sin theta)^2 = 9a^2 cos^4 theta sin^2 theta
(3a sin^2 theta cos theta)^2 = 9a^2 sin^4 theta cos^2 theta
Somando os dois:
9a^2 cos^4 theta sin^2 theta + 9a^2 sin^4 theta cos^2 theta = 9a^2 cos^2 theta sin^2 theta (cos^2 theta + sin^2 theta)
Como $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $, simplifica para:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Então, a raiz fica:
9a^2 cos^2 theta sin^2 theta

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na fórmula da área:
A = 2pi integral0^pi2 x(theta) cdot 3a cos theta sin theta , dtheta
Sabemos que $ x(\theta) = a \cos^{3} \theta $, então:
x(theta) = a cos^3 theta

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar $ u = \cos \theta $, então $ du = -\sin \theta , d\theta $. Alterando os limites:
Quando $ \theta = 0 $, $ u = 1 $;
Quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $.
A integral fica:
u = cos theta
Integrando:
du = -sin theta , dtheta

Resposta

A área da superfície obtida é $ \frac{6\pi a^{2}}{5} $.

Exercícios relacionados