Calcule: integral 1t^2+t+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de 1t^2+t+1 em relação a t. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula de integração que envolve a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador t^2 + t + 1. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de forma que seja mais fácil de integrar. Para fazer isso, pegamos os primeiros dois termos:
t^2 + t = (t^2 + t + (12)^2) - (12)^2 = (t + 12)^2 - 14
Então, substituindo de volta na expressão original:
t^2 + t + 1 = (t + 12)^2 - 14 + 1 = (t + 12)^2 + 34

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral 1(t + 12)^2 + (raiz32)^2 , dt
Perceba que isso se parece com a forma padrão da integral:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Onde u = t + 12 e a = raiz32.

Passo 4

Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:
integral 1(t + 12)^2 + (raiz32)^2 , dt = 1raiz32 arctan(t + 12raiz32) + C
Simplificando o coeficiente:
1raiz32 = 2raiz3

Passo 5

Simplificando ainda mais a expressão dentro da função arco-tangente:
t + 12raiz32 = 2(t + 12)raiz3 = 2t + 1raiz3

Resposta

Portanto, a integral calculada é:
integral 1t^2+t+1 , dt = 2raiz3 arctan(2t + 1raiz3) + C

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