Calcule:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Nesse método, precisamos escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
Passo 3
Vamos definir:
Escolhemos
porque sua derivada
simplifica a integral, e
porque é fácil de integrar.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a
, não precisamos do termo da constante
.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
Calculando para
:
Calculando para
:
Agora, subtraímos:
Resposta
O valor da integral
é
.