Calcule: integral1^e x ln x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse método, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Vamos definir:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
dv = x , dx Rightarrow v = x^22
Escolhemos porque sua derivada simplifica a integral, e porque é fácil de integrar.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x dx
Simplificando a segunda integral:
x^22 cdot 1x = x2
Então, temos:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - integral x2 dx

Passo 5

Vamos calcular a integral restante:
integral x2 dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24
Substituindo de volta:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a , não precisamos do termo da constante .

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
[ x^22 ln x - x^24 ]1^e
Calculando para e^22 ln e - e^24 = e^22 cdot 1 - e^24 = e^22 - e^24 = e^24 :
1^22 ln 1 - 1^24 = 12 cdot 0 - 14 = -14
Calculando para e^24 - (-14) = e^24 + 14 = e^2 + 14 :
Agora, subtraímos:

Resposta

O valor da integral é .

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