Calcule integral 1x^2+x+1 d x
3raiz5 arctg(xraiz5)+C

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a primitiva da função f(x)=1x^2+x+1, que é um caso clássico de integral de função racional de segundo grau sem raízes reais. Vamos usar a técnica de completar o quadrado e a integral padrão de integral duu^2+a^2.

Passo 2

Para completar o quadrado no denominador, reescrevemos x^2+x+1 como
x^2+x+1=l(x+tfrac12r)^2+1-tfrac14=l(x+tfrac12r)^2+tfrac34

Passo 3

Fazendo a substituição u=x+tfrac12, temos du=dx e a integral vira
integraldxx^2+x+1=integralduu^2+l(tfracraiz32r)^2

Passo 4

Usando a fórmula integralduu^2+a^2=1aarctanl(tfracuar)+C com a=tfracraiz32, obtemos
integralduu^2+l(tfracraiz32r)^2=1tfracraiz32arctanl(utfracraiz32r)+C=2raiz3arctanl(2uraiz3r)+C

Passo 5

Voltando a variável original x, lembrando que u=x+tfrac12, concluímos que
integraldxx^2+x+1=2raiz3arctanl(2x+1raiz3r)+C

Resposta

integraldxx^2+x+1=2raiz3arctanl(2x+1raiz3r)+C

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