Considere o campo vetorial F: R^3 R^3 definido por F(x, y, z)=(y^2, x, z x). Calcule o fluxo de F através da superfície que é o bordo do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e os planos z=0 e z=3.

Passo 1

O exercício pede o fluxo de um campo vetorial pela superfície fechada que envolve o cilindro de raio 2 entre os planos z=0 e z=3. O conteúdo da matéria é o Teorema da Divergência, e vamos precisar calcular a divergência de F e depois integrar sobre o volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através da superfície fechada partial V vale integral duplapartial VFcdotn,dS = integral triplaVnablacdotF,dV. Vamos então achar nablacdotF.

Passo 3

Temos F(x,y,z)=(y^2,,x,,z,x). Calculando as derivadas parciais:
nablacdotF=partialpartial x(y^2)+partialpartial y(x)+partialpartial z(z,x)=0+0+x= x

Passo 4

Agora montamos a integral tripla de x sobre o volume cilindro de raio 2 e altura 3. Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos x=rcostheta e dV=r,dr,dtheta,dz. A integral fica:
integral triplaVx,dV = integralz=0^3integraltheta=0^2piintegralr=0^2(rcostheta),r,dr,dtheta,dz

Passo 5

Podemos separar as integrais e observar que
integraltheta=0^2picostheta,dtheta = 0

Passo 6

Como a parte angular zera, todo o triplo integral vale zero, logo o fluxo procurado é zero.

Resposta

0

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