Considere o campo vetorial
definido por
. Calcule o fluxo de
através da superfície que é o bordo do sólido limitado pelo cilindro
e os planos
e
.
Passo 1
O exercício pede o fluxo de um campo vetorial pela superfície fechada que envolve o cilindro de raio 2 entre os planos z=0 e z=3. O conteúdo da matéria é o Teorema da Divergência, e vamos precisar calcular a divergência de F e depois integrar sobre o volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
através da superfície fechada
vale
. Vamos então achar
.
Passo 3
Temos
. Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora montamos a integral tripla de
sobre o volume cilindro de raio 2 e altura 3. Em coordenadas cilíndricas
temos
e
. A integral fica:
Passo 5
Podemos separar as integrais e observar que
Passo 6
Como a parte angular zera, todo o triplo integral vale zero, logo o fluxo procurado é zero.
Resposta
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