Dada a temperatura T(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, de uma casca hemisférica (porção norte) metálica S de raio unitário, calcule o fluxo de calor através de S. O fluxo de calor é dado por F(x, y, z)= -kappa nabla T(x, y, z). Considere kappa=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura
T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
e define o fluxo de calor por
F(x,y,z)=-kappa,nabla T(x,y,z),
com kappa=-1. A superfície S é a casca hemisférica norte de raio unitário ( x^2+y^2+z^2=1, z>=0). Precisamos calcular o fluxo
Phi=integral duplaSFcdot dS

Passo 2

Calcular o gradiente de T:
nabla T = l(2x,,2y,,2zr)

Passo 3

Como kappa=-1, temos
F = -kappa,nabla T = -(-1),(2x,2y,2z) = (2x,2y,2z)

Passo 4

Na esfera unitária a normal externa unitária é
n=(x,y,z). Logo, sobre S,
Fcdot n =2xcdot x +2ycdot y +2zcdot z =2l(x^2+y^2+z^2r) =2

Passo 5

O fluxo fica
Phi =integral duplaSFcdot dS =integral duplaS2,dS =2,Area(S)
Como S é meia-esfera de raio 1, Area(S)=2pi. Portanto,
Phi=2cdot2pi=4pi

Resposta

4pi

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