O escoamento de um fluido, de densidade rho(x, y, z)=10 kg / m^3, possui velocidade v=-y imath+ x jmath+2 z k. Determine a vazão de tal escoamento através da esfera de raio 5 , centrada na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a vazão de massa de um fluido de densidade constante rho=10,kg/m^3 cujo campo de velocidades é v=(-y),hatimath + x,hatjmath +2z,hat k, através da superfície da esfera de raio 5 centrada na origem. Vamos usar o teorema da divergência para converter a integral de superfície numa integral de volume.

Passo 2

A vazão de massa é dada por
Phim=integral duplaS rho, vcdot n,dS,
e pelo teorema da divergência temos
Phim=integral triplaV nablacdot(rho, v),dV

Passo 3

Como rho é constante, podemos levar para fora da divergência:
nablacdot(rho, v)=rho,(nablacdot v)
Agora calculamos
nablacdot v=partial(-y)partial x+partial(x)partial y+partial(2z)partial z=0+0+2=2
Logo
nablacdot(rho, v)=10times2=20

Passo 4

Portanto a vazão de massa é
Phim=integral triplaV20,dV=20timesVol(esfera de raio 5)
Sabemos que
Vol=43pi R^3=43pi(5)^3=5003pi
Assim
Phim=20times5003pi=100003pi

Passo 5

Esse resultado tem unidade de kg/s, pois integra-se densidade vezes velocidade sobre área.

Resposta

Phim=10000pi3,kg/s

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