O escoamento de um fluido, de densidade
, possui velocidade
. Determine a vazão de tal escoamento através da esfera de raio 5 , centrada na origem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a vazão de massa de um fluido de densidade constante
cujo campo de velocidades é
, através da superfície da esfera de raio
centrada na origem. Vamos usar o teorema da divergência para converter a integral de superfície numa integral de volume.
Passo 2
A vazão de massa é dada por
e pelo teorema da divergência temos
Passo 3
Como
é constante, podemos levar para fora da divergência:
Agora calculamos
Logo
Passo 4
Portanto a vazão de massa é
Sabemos que
Assim
Passo 5
Esse resultado tem unidade de
, pois integra-se densidade vezes velocidade sobre área.