Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para solucioná-la, vamos precisar usar algumas técnicas de manipulação algébrica e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Uma estratégia comum é racionalizar o denominador. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
, que é o conjugado de
.
Passo 3
Agora, vamos expandir o denominador usando a identidade
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Sabemos que
pode ser expressa usando a identidade trigonométrica
. Substituindo:
No entanto, isso não simplifica muito a integral. Outra abordagem é reconhecer que
pode ser reescrito como
. Mas para facilitar a integral, podemos usar a identidade
:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Isso ainda parece complicado. Vamos tentar uma substituição diferente. Outra técnica útil para integrais com funções trigonométricas no denominador é usar a substituição
, conhecida como substituição de tangente do ângulo meio.
Passo 6
Vamos aplicar a substituição
. Com isso, temos as seguintes identidades:
Substituindo na integral:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:
Simplificando:
Passo 8
Agora, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração:
Portanto, a integral fica:
Passo 9
Essa é a forma de uma integral que resulta em uma função arctangente. A fórmula básica é:
Comparando com a nossa integral:
Aplicando a fórmula:
Passo 10
Agora, lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a expressão final da integral.
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.