Calcule: integral 22+sin x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 22+sin x , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para solucioná-la, vamos precisar usar algumas técnicas de manipulação algébrica e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Uma estratégia comum é racionalizar o denominador. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por (2 - sin x), que é o conjugado de (2 + sin x).
integral 22+sin x , dx = integral 2(2 - sin x)(2 + sin x)(2 - sin x) , dx

Passo 3

Agora, vamos expandir o denominador usando a identidade (a + b)(a - b) = a^2 - b^2:
(2 + sin x)(2 - sin x) = 2^2 - (sin x)^2 = 4 - sin^2 x
Então, a integral fica:
integral 2(2 - sin x)4 - sin^2 x , dx

Passo 4

Sabemos que sin^2 x pode ser expressa usando a identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x. Substituindo:
4 - sin^2 x = 4 - (1 - cos^2 x) = 3 + cos^2 x
No entanto, isso não simplifica muito a integral. Outra abordagem é reconhecer que 4 - sin^2 x pode ser reescrito como 4 - sin^2 x = 4 - (sin x)^2 = 4 - sin^2 x. Mas para facilitar a integral, podemos usar a identidade sin^2 x = 1 - cos 2x2:
4 - sin^2 x = 4 - 1 - cos 2x2 = 8 - (1 - cos 2x)2 = 7 + cos 2x2

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 2(2 - sin x)7 + cos 2x2 , dx = integral 4(2 - sin x)7 + cos 2x , dx
Isso ainda parece complicado. Vamos tentar uma substituição diferente. Outra técnica útil para integrais com funções trigonométricas no denominador é usar a substituição t = tan x2, conhecida como substituição de tangente do ângulo meio.

Passo 6

Vamos aplicar a substituição t = tan x2. Com isso, temos as seguintes identidades:
sin x = 2t1 + t^2 e dx = 21 + t^2 , dt
Substituindo na integral:
integral 22 + 2t1 + t^2 cdot 21 + t^2 , dt

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
2 + 2t1 + t^2 = 2(1 + t^2) + 2t1 + t^2 = 2 + 2t^2 + 2t1 + t^2
Então, a integral se torna:
integral 22 + 2t^2 + 2t1 + t^2 cdot 21 + t^2 , dt = integral 2(1 + t^2)2 + 2t^2 + 2t cdot 21 + t^2 , dt
Simplificando:
integral 42 + 2t^2 + 2t , dt = integral 42(t^2 + t + 1) , dt = integral 2t^2 + t + 1 , dt

Passo 8

Agora, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração:
t^2 + t + 1 = (t^2 + t + 14) + 34 = (t + 12)^2 + 34
Portanto, a integral fica:
integral 2(t + 12)^2 + (raiz32)^2 , dt

Passo 9

Essa é a forma de uma integral que resulta em uma função arctangente. A fórmula básica é:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Comparando com a nossa integral:
u = t + 12 e a = raiz32
Aplicando a fórmula:
integral 2(t + 12)^2 + (raiz32)^2 , dt = 2raiz32 arctan(t + 12raiz32) + C = 4raiz3 arctan(2t + 1raiz3) + C

Passo 10

Agora, lembrando que t = tan x2, substituímos de volta:
4raiz3 arctan(2tan x2 + 1raiz3) + C
Essa é a expressão final da integral.

Resposta

A integral integral 22+sin x , dx é igual a 4raiz3 arctan(2tan x2 + 1raiz3) + C, onde C é a constante de integração.

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