Dados vetores e , há seis produtos mistos possíveis: , etc… Mostre que três deles têm o mesmo resultado e os outros três têm resultado oposto. Você consegue descobrir uma forma prática de verificar quando dois destes produtos mistos possuem o mesmo resultado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores , e e os chamados produtos mistos. Esses produtos mistos são uma maneira de combinar três vetores para obter um número que nos diz algo sobre o volume do paralelepípedo formado por eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto misto e como a ordem dos vetores afeta o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto misto de três vetores. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Esse determinante nos dá um número que é positivo ou negativo, dependendo da orientação dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas seis possíveis permutações dos vetores , e :
Passo 4
Sabemos que trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. Então, sempre que trocarmos duas vetores na ordem, o produto misto ficará com sinal oposto. Por exemplo:
Isso significa que se fizermos uma troca, o resultado muda de positivo para negativo ou vice-versa.
Passo 5
Agora, vamos ver que três dessas permutações dão o mesmo resultado e as outras três dão o oposto. Vamos escolher uma ordem de referência, por exemplo, . As permutações pares (que podem ser alcançadas com um número par de trocas) vão dar o mesmo resultado, e as permutações ímpares (número ímpar de trocas) vão dar o resultado oposto.
Passo 6
Então, se compararmos , e , todas essas três têm o mesmo valor. Já as outras três , e têm o resultado oposto.
Passo 7
Para verificar de forma prática se dois produtos mistos têm o mesmo resultado, basta contar quantas trocas de posição você precisa fazer para ir de um para o outro. Se for um número par de trocas, eles serão iguais; se for ímpar, terão sinais opostos.
Resposta
Três dos seis produtos mistos têm o mesmo valor e os outros três são opostos. Para verificar facilmente, basta ver se a permutação entre eles é par (mesmo resultado) ou ímpar (resultado oposto).