Dados vetores u, v e w, há seis produtos mistos possíveis: (u, v, w), (v, u, w), (w, u, v), etc… Mostre que três deles têm o mesmo resultado e os outros três têm resultado oposto. Você consegue descobrir uma forma prática de verificar quando dois destes produtos mistos possuem o mesmo resultado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre vetores , e e os chamados produtos mistos. Esses produtos mistos são uma maneira de combinar três vetores para obter um número que nos diz algo sobre o volume do paralelepípedo formado por eles. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto misto e como a ordem dos vetores afeta o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto misto de três vetores. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores:
Esse determinante nos dá um número que é positivo ou negativo, dependendo da orientação dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas seis possíveis permutações dos vetores , e :

Passo 4

Sabemos que trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante. Então, sempre que trocarmos duas vetores na ordem, o produto misto ficará com sinal oposto. Por exemplo:
Isso significa que se fizermos uma troca, o resultado muda de positivo para negativo ou vice-versa.

Passo 5

Agora, vamos ver que três dessas permutações dão o mesmo resultado e as outras três dão o oposto. Vamos escolher uma ordem de referência, por exemplo, . As permutações pares (que podem ser alcançadas com um número par de trocas) vão dar o mesmo resultado, e as permutações ímpares (número ímpar de trocas) vão dar o resultado oposto.

Passo 6

Então, se compararmos , e , todas essas três têm o mesmo valor. Já as outras três , e têm o resultado oposto.

Passo 7

Para verificar de forma prática se dois produtos mistos têm o mesmo resultado, basta contar quantas trocas de posição você precisa fazer para ir de um para o outro. Se for um número par de trocas, eles serão iguais; se for ímpar, terão sinais opostos.

Resposta

Três dos seis produtos mistos têm o mesmo valor e os outros três são opostos. Para verificar facilmente, basta ver se a permutação entre eles é par (mesmo resultado) ou ímpar (resultado oposto).

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