Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde
\begin{aligned} & \mathbf{F}(x, y)=e^{x-1} \mathbf{i}+x y \mathbf{j} \text { e } C \text { é dado por } \\\ & \mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+t^{3} \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 1 . \end{aligned}é

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de \mathbf{F}(x,y)=e^{x-1}\,\mathbf{i}+x\,y\,\mathbf{j} ao longo da curva C parametrizada por \mathbf{r}(t)=t^2\,\mathbf{i}+t^3\,\mathbf{j}, 0\le t\le1. O que precisamos é usar a definição
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{t=0}^{1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos o vetor tangente \mathbf{r}'(t). Como \mathbf{r}(t)=(t^2,t^3), temos
\mathbf{r}'(t)=(2t,\,3t^2).

Passo 3

Substituímos na integral. Primeiro avaliamos \mathbf{F} em \mathbf{r}(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(e^{t^2-1},\,t^2\cdot t^3\bigr) =\bigl(e^{t^2-1},\,t^5\bigr).
Logo o produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = e^{t^2-1}\cdot(2t) + t^5\cdot(3t^2) =2t\,e^{t^2-1}+3t^7.
A integral fica
\int_0^1\bigl(2t\,e^{t^2-1}+3t^7\bigr)\,dt.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente. Para o primeiro usamos a substituição u=t^2-1, du=2t\,dt:
\int_0^1 2t\,e^{t^2-1}\,dt =\bigl.e^{t^2-1}\bigr|_{0}^{1} =e^{0}-e^{-1} =1-e^{-1}.
Para o segundo:
\int_0^1 3t^7\,dt =3\cdot\frac{t^8}{8}\Big|_{0}^{1} =\frac{3}{8}.
Somando,
1-e^{-1}+\frac{3}{8} =\frac{11}{8}-e^{-1}.

Resposta

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\frac{11}{8}-e^{-1}.

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