1^{\underline{a}} Questão (8 pts) Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{2}(2 x)}{x \operatorname{sen}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{2}(2x)}{x\,\sin(3x)}.
O conteúdo é limite de funções trigonométricas. Vamos usar as propriedades \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos o numerador usando \tan^{2}(2x)=\bigl(\tan(2x)\bigr)^{2} e fatoramos 2x:
\tan^{2}(2x) =\Bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\cdot 2x\Bigr)^{2} =4x^{2}\,\Bigl(\tfrac{\tan(2x)}{2x}\Bigr)^{2}.
Assim
\frac{\tan^{2}(2x)}{x\,\sin(3x)} =\frac{4x^{2}\,\bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\bigr)^{2}}{x\,\sin(3x)} =4x\;\frac{\bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\bigr)^{2}}{\sin(3x)}.

Passo 3

Agora escrevemos \sin(3x) em função de 3x:
\sin(3x)=3x\;\frac{\sin(3x)}{3x}.
Substituindo em cima dá
4x\;\frac{\bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\bigr)^{2}}{3x\;\frac{\sin(3x)}{3x}} =\frac{4}{3}\;\frac{\bigl(\frac{\tan(2x)}{2x}\bigr)^{2}}{\frac{\sin(3x)}{3x}}.

Passo 4

Tomando limite x\to0, cada fração tende a 1:
\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{2x}=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{\tan^{2}(2x)}{x\,\sin(3x)} =\frac{4}{3}\cdot1^{2}\cdot\frac{1}{1} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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