In the absence of damping, the motion of a spring-mass system satisfies the initial value problem
a. Show that the kinetic energy initially imparted to the mass is
and that the potential energy initially stored in the spring is
, so initially the total energy in the system is
.
b. Solve the given initial value problem.
c. Using the solution in part b, determine the total energy in the system at any time
. Your result should confirm the principle of conservation of energy for this system.
b. Solve the given initial value problem.
c. Using the solution in part b, determine the total energy in the system at any time
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico livre, dado pela EDO
com condições iniciais
O conteúdo envolve (i) cálculo de energia cinética e potencial, (ii) solução da EDO linear de coeficientes constantes, e (iii) verificação da conservação da energia
Passo 2
Energia cinética num instante
é
logo em
Energia potencial na mola é
logo em
Assim, a energia total inicial é
Passo 3
Para resolver a EDO, dividimos por
e obtemos
A equação característica é
, com raízes
. A solução geral é
Impondo
dá
. Em seguida
e
implica
, isto é
. Portanto
Passo 4
Agora calculemos a energia total
. Temos
então
E
Usando
e desenvolvendo os quadrados, todos os termos mistos se cancelam, restando
Isso mostra que
, confirmando a conservação da energia.
Resposta
a. Energia cinética inicial
; energia potencial inicial
; total
.
b.
c. constante.
b.
c.