In the absence of damping, the motion of a spring-mass system satisfies the initial value problem
m u^{\prime \prime}+k u=0, \quad u(0)=a, \quad u^{\prime}(0)=b
a. Show that the kinetic energy initially imparted to the mass is m b^{2} / 2 and that the potential energy initially stored in the spring is k a^{2} / 2, so initially the total energy in the system is \left(k a^{2}+m b^{2}\right) / 2.
b. Solve the given initial value problem.
c. Using the solution in part b, determine the total energy in the system at any time t. Your result should confirm the principle of conservation of energy for this system.

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico livre, dado pela EDO
m\,u''(t)+k\,u(t)=0,
com condições iniciais
u(0)=a,\quad u'(0)=b.
O conteúdo envolve (i) cálculo de energia cinética e potencial, (ii) solução da EDO linear de coeficientes constantes, e (iii) verificação da conservação da energia
E(t)=\tfrac12 m\bigl(u'(t)\bigr)^2+\tfrac12 k\bigl(u(t)\bigr)^2.

Passo 2

Energia cinética num instante t é
T(t)=\tfrac12\,m\bigl(u'(t)\bigr)^2,
logo em t=0
T(0)=\tfrac12\,m\,\bigl(u'(0)\bigr)^2=\tfrac12\,m\,b^2.
Energia potencial na mola é
V(t)=\tfrac12\,k\bigl(u(t)\bigr)^2,
logo em t=0
V(0)=\tfrac12\,k\,\bigl(u(0)\bigr)^2=\tfrac12\,k\,a^2.
Assim, a energia total inicial é
E(0)=T(0)+V(0)=\tfrac12\,(m\,b^2+k\,a^2).

Passo 3

Para resolver a EDO, dividimos por m e obtemos
u''+\omega^2\,u=0,\quad \omega=\sqrt{\tfrac{k}{m}}.
A equação característica é r^2+\omega^2=0, com raízes r=\pm i\omega. A solução geral é
u(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).
Impondo u(0)=a C=a. Em seguida
u'(t)=-a\,\omega\sin(\omega t)+D\,\omega\cos(\omega t),
e u'(0)=b implica D\,\omega=b, isto é D=b/\omega. Portanto
u(t)=a\cos(\omega t)+\frac{b}{\omega}\sin(\omega t).

Passo 4

Agora calculemos a energia total E(t). Temos
u'(t)=-a\,\omega\sin(\omega t)+\frac{b}{\omega}\,\omega\cos(\omega t) =-a\,\omega\sin(\omega t)+b\,\cos(\omega t),
então
T(t)=\tfrac12\,m\bigl(-a\,\omega\sin(\omega t)+b\cos(\omega t)\bigr)^2.
E
V(t)=\tfrac12\,k\bigl(a\cos(\omega t)+\tfrac{b}{\omega}\sin(\omega t)\bigr)^2.
Usando k=m\omega^2 e desenvolvendo os quadrados, todos os termos mistos se cancelam, restando
E(t) =\tfrac12\,m\bigl(a^2\omega^2(\sin^2+\cos^2)+b^2(\cos^2+\sin^2)\bigr) =\tfrac12\,(m\,b^2+k\,a^2).
Isso mostra que E(t)=E(0), confirmando a conservação da energia.

Resposta

a. Energia cinética inicial \tfrac12\,m\,b^2; energia potencial inicial \tfrac12\,k\,a^2; total \tfrac12\,(k\,a^2+m\,b^2).
b. u(t)=a\cos\bigl(\sqrt{k/m}\,t\bigr)+\dfrac{b}{\sqrt{k/m}}\sin\bigl(\sqrt{k/m}\,t\bigr).
c. E(t)=\tfrac12\,m\,\bigl(u'(t)\bigr)^2+\tfrac12\,k\,\bigl(u(t)\bigr)^2=\tfrac12\,(k\,a^2+m\,b^2), constante.

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