Derive as funções de 6 a 16. f(x) = ln(x * raiz(x + 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada. O enunciado pede para derivar a função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções logarítmicas e a aplicação da regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos e aplicar a regra da derivada para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que . Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Lembrando que , e usando a propriedade :

Passo 4

Agora que simplificamos a função, podemos derivá-la termo a termo. A derivada de é e a derivada de usando a regra da cadeia é .

Passo 5

Aplicando as derivadas:

Passo 6

Por fim, simplificamos a expressão para obter a derivada final:

Resposta

A derivada da função é:

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