Esboce o gráfico das funções a seguir.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos desenhar o gráfico dessa função. Vamos precisar saber sobre funções exponenciais, propriedades de gráficos e como identificar pontos importantes para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o domínio e a imagem da função. A função exponencial
está definida para todo
real, então nosso domínio também é todos os números reais. A imagem de
é sempre positiva, ou seja,
. Como temos
, a imagem será
. Portanto, a imagem de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção com os eixos. Para encontrar o intercepto com o eixo y, basta calcular
:
Então, o gráfico cruza o eixo y no ponto (0, 0).
Para encontrar o intercepto com o eixo x, resolvemos
:
Portanto, a única interseção com o eixo x é também em (0, 0).
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas do gráfico. Como mencionado, a imagem de
é
, então existe uma assíntota horizontal em
. Isso significa que, à medida que
tende a menos infinito, o gráfico se aproxima de
mas nunca o alcança.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função:
- Para
aumentando (tendendo a +∞), tende a +∞, então também tende a +∞. - Para
diminuindo (tendendo a -∞), tende a 0, então tende a -1.
Isso nos dá uma ideia de como o gráfico se comporta nas extremidades.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Passa pela origem (0,0).
- Tem uma assíntota horizontal em
. - Cresce exponencialmente à medida que
aumenta. - Se aproxima de
à medida que diminui.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva exponencial que passa pela origem, cresce rapidamente à direita e se aproxima da reta
à esquerda, sem jamais tocar essa reta.