Calcule a integral.
31. integral tg 4 x sec ^4 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan(4x)sec^4(4x),dx. O conteúdo envolve técnicas de integração de funções trigonométricas e vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Observamos que a derivada de sec(4x) é ddx[sec(4x)] = 4sec(4x)tan(4x). Esse padrão sec(4x)tan(4x) aparece no integrando, o que sugere uma substituição conveniente.
Definimos a substituição u = sec(4x). Então du = 4sec(4x)tan(4x),dx, o que implica sec(4x)tan(4x),dx = du4.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u e integrando:
integral tan(4x)sec^4(4x),dx = integral sec^3(4x)l[sec(4x)tan(4x),dxr] = integral u^3du4 = 14integral u^3,du = u^416 + C

Passo 4

Para voltar à variável original, usamos u = sec(4x), logo, a resposta final é:
integral tan(4x)sec^4(4x),dx = sec^4(4x)16 + C

Resposta

sec^4(4x)16 + C

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