Calcule a integral.
∫₀¹(3+x√x)dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\bigl(3 + x\sqrt{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de funções potência, e vamos usar a regra de potências, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando reescrevendo \sqrt{x} como x^{1/2}. Assim,
x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2},
e a integral vira
\int_{0}^{1}\bigl(3 + x^{3/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potências em cada termo:
\int 3\,dx = 3x,
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{(3/2)+1}}{\tfrac{3}{2}+1} = \frac{x^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}\,x^{5/2}.
Logo uma primitiva é
F(x) = 3x + \frac{2}{5}\,x^{5/2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F(x) entre 0 e 1:
F(1) - F(0) = \Bigl(3\cdot1 + \frac{2}{5}\cdot1^{5/2}\Bigr) - \bigl(0 + 0\bigr) = 3 + \frac{2}{5} = \frac{15}{5} + \frac{2}{5} = \frac{17}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{5}

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