Calcule a integral.
∫₀²x(2+x⁵)dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x\,(2 + x^{5}) \,dx.
Este é um caso de integral de polinômio; vamos usar a propriedade de linearidade e a regra do poder para integrá-lo.

Passo 2

Primeiro, expandimos o integrando para separar em termos mais simples:
x\,(2 + x^{5}) = 2x + x^{6}.
Pela linearidade,
\int_{0}^{2} x\,(2 + x^{5}) \,dx = \int_{0}^{2} 2x \,dx \;+\; \int_{0}^{2} x^{6} \,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder em cada termo:
\int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} = x^{2}, \qquad \int x^{6} \,dx = \frac{x^{7}}{7}.
Logo, uma antiderivada F(x) é
F(x) = x^{2} + \frac{x^{7}}{7}.

Passo 4

Avaliamo-la de 0 a 2:
F(2) = 2^{2} + \frac{2^{7}}{7} = 4 + \frac{128}{7}, \qquad F(0) = 0.
Portanto,
\int_{0}^{2} x\,(2 + x^{5}) \,dx = F(2) - F(0) = 4 + \frac{128}{7} = \frac{28 + 128}{7} = \frac{156}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{156}{7}

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