Calcule a integral.
∫₁⁹(x-1)/√xdx

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{1}^{9}\frac{x-1}{\sqrt{x}}\,dx.
O tema aqui é integração de potências de x. Vamos reescrever o integrando em termos de potências e usar a regra
\int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências:
\frac{x-1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{x^{1/2}} - \frac{1}{x^{1/2}} = x^{1-\tfrac12} - x^{-\tfrac12} = x^{\tfrac12} - x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Integramos termo a termo para obter a primitiva F(x):
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}x^{\tfrac32},
\int x^{-\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12}.
Logo,
F(x)=\frac{2}{3}x^{\tfrac32}-2\,x^{\tfrac12}.

Passo 4

Aplicando os limites de 1 a 9:
\int_{1}^{9}\frac{x-1}{\sqrt{x}}\,dx =F(9)-F(1) =\Bigl(\frac{2}{3}\cdot9^{\tfrac32}-2\cdot9^{\tfrac12}\Bigr) -\Bigl(\frac{2}{3}\cdot1^{\tfrac32}-2\cdot1^{\tfrac12}\Bigr).
Calculando: 9^{\tfrac12}=3, 9^{\tfrac32}=27, e 1^{\tfrac12}=1, 1^{\tfrac32}=1. Então
F(9)=\frac{2}{3}\cdot27 -2\cdot3=18-6=12, \quad F(1)=\frac{2}{3}-2=-\frac{4}{3},
F(9)-F(1)=12 -\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)=12+\tfrac{4}{3}=\frac{36+4}{3}=\frac{40}{3}.

Resposta

\frac{40}{3}.

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