4.5 Calcule:
integral-2^5|2 x-3| d x

Passo 1

Nessa questão, a gente precisa calcular a integral definida integral-2^5|2x-3|,dx. O tema é integração de valor absoluto, ou seja, vamos ter que usar a definição por partes da função dentro do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde 2x-3=0: isso dá x=tfrac32. Esse ponto divide nosso intervalo em duas regiões: em [-2,tfrac32], temos 2x-3<0; em [tfrac32,5], temos 2x-3>=0. Logo, podemos reescrever:
|2x-3|=3-2x,&x=tfrac32,
e a integral fica dividida em duas partes.

Passo 3

Na primeira parte, integramos de -2 até tfrac32 a função 3-2x:
integral-2^3/2(3-2x),dx=l[3x-x^2r]-2^3/2
Calculando: em x=3/2 temos 3cdottfrac32-(tfrac32)^2=9/2-9/4=9/4 e em x=-2 temos 3cdot(-2)-(-2)^2=-6-4=-10. Assim,
9/4-(-10)=9/4+10=49/4

Passo 4

Na segunda parte, integramos de tfrac32 até 5 a função 2x-3:
integral3/2^5(2x-3),dx=l[x^2-3xr]3/2^5
Calculando: em x=5 temos 5^2-3cdot5=25-15=10 e em x=3/2 temos (3/2)^2-3cdot(3/2)=9/4-9/2=9/4-18/4=-9/4. Assim,
10-(-9/4)=10+9/4=49/4

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
49/4+49/4=49/2,
que é o valor da integral.

Resposta

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