Calcule a integral abaixo:
integral d xx^2 raizx^2-1, x>1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxx^2raizx^2-1 para x>1. Esse é um problema de integração de função com raiz quadrada, e vamos precisar usar substituição trigonométrica para facilitar.

Passo 2

Vamos usar a substituição trigonométrica x=sectheta, de modo que dx=secthetatantheta,dtheta e raizx^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta.
Substituindo na integral original, temos:
integral dxx^2raizx^2-1=integral secthetatantheta,dthetasec^2thetacdottantheta
Dentro da integral, cancelam-se tantheta e simplifica-se secthetasec^2theta=costheta, ficando:
integral costheta,dtheta
Integrando, obtemos integral costheta,dtheta=sintheta+C.
Por fim, voltamos à variável x. Como sintheta=tanthetasectheta=raizx^2-1x, a primitiva fica raizx^2-1x+C.

Resposta

raizx^2-1x+C

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