1. Uma força de 13 N é necessária para manter uma mola presa a uma massa de 2 kg esticada 0,25 m além de seu comprimento natural. A constante de amortecimento da mola é c=8.
    (a) Se a massa começa na posição de equilíbrio com velocidade de 0,5 m / s, encontre a posição no instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=2,kg, força estática de 13,N que estica a mola em 0,25,m (para determinar a constante elástica k) e amortecimento c=8. Queremos a posição x(t) ao longo do tempo, sabendo que a massa parte da posição de equilíbrio com velocidade inicial de 0,5,m/s. O conteúdo é solução de equação diferencial linear de 2ª ordem com amortecimento.

Passo 2

Calcular a constante da mola usando a Lei de Hooke:
k = Fx = 130,25 = 52(N/m)
Escrevemos a equação de movimento do amortecido:
m,x''(t) + c,x'(t) + k,x(t) = 0
ou seja
2,x''(t) + 8,x'(t) + 52,x(t) = 0
Dividindo por 2:
x''(t) + 4,x'(t) + 26,x(t) = 0

Passo 3

Formar a equação característica:
r^2 + 4r + 26 = 0
suas raízes são
r = -4 pm raiz4^2 -4cdot1cdot262 = -2 pm iraiz22
Como a parte real é negativa e o discriminante é negativo, o regime é subamortecido.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = e^-2tl(Acos(raiz22,t) + Bsin(raiz22,t)r)
Nas condições iniciais tomamos a posição de equilíbrio como x(0)=0 e a velocidade inicial x'(0)=0,5. Avaliando em t=0:
x(0)=A=0
Derivando e avaliando em t=0
x'(0)=B,raiz22=0,5 Longrightarrow B=0,5raiz22

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
x(t) = 0,5raiz22,e^-2t,sinl(raiz22,tr)

Resposta

x(t) = dfrac0,5raiz22,e^-2t,sinl(raiz22,tr)

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