Calcule a integral abaixo utilizando o método de frações parciais
integral 3 x^2+3(x-1)(x^2+2) d x

Passo 1

Estamos tentando calcular a integral integral 3x^2+3(x-1)(x^2+2),dx O conteúdo aqui é frações parciais: vamos decompor essa função racional em termos mais simples antes de integrar.

Passo 2

Assumimos a forma 3x^2+3(x-1)(x^2+2)=Ax-1+Bx+Cx^2+2 Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+2) obtemos 3x^2+3=A(x^2+2)+(Bx+C)(x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito chega-se a (A+B)x^2+(C-B)x+(2A-C)=3x^2+0x+3 Igualando coeficientes formamos o sistema:
A+B=3, C-B=0, 2A-C=3 Resolvendo: de C=B, de A+B=3 e 2A-B=3 vem A=2, B=1, C=1.

Passo 4

Logo a integral vira integral2x-1,dx+integralx+1x^2+2,dx Separamos em três partes: integral2x-1,dx+integralxx^2+2,dx+integral1x^2+2,dx

Passo 5

Para cada parte:
  • integral2x-1,dx=2ln|x-1|
  • Em integralxx^2+2,dx fazemos u=x^2+2, du=2x,dx, então =tfrac12ln(x^2+2)
  • E integral1x^2+2,dx=1raiz2arctanl(xraiz2r)

Passo 6

Somando tudo e adicionando a constante de integração, chegamos à forma final.

Resposta

2ln|x-1|+tfrac12ln(x^2+2)+tfrac1raiz2arctanl(tfracxraiz2r)+C

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