Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 ln (x+1)x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 ln(x+1)x+1,dx
O conteúdo necessário é integração por substituição, aproveitando que a derivada de ln(x+1) é exatamente 1/(x+1).

Passo 2

Definimos a substituição
u = ln(x+1)
Então, diferenciado ambos os lados, temos
du = 1x+1,dx
Note que ln(x+1)x+1,dx = u,du.

Passo 3

Agora precisamos trocar os limites de x para u:
quando x=0, u=ln(0+1)=0;
quando x=1, u=ln(1+1)=ln2.
Portanto a integral fica
integral0^1 ln(x+1)x+1,dx = integralu=0^u=ln2 u,du

Passo 4

Integramos em u:
integral0^ln2 u,du = u^22|0^ln2 = (ln2)^22 - 0

Resposta

(ln2)^22

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