Calcule as seguintes integrais:
integral raizx^4-7 x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral raizx^4-7x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de radicais. Vamos começar fatorando o que está dentro da raiz e depois usar uma substituição simples, lembrando que raizx^2=|x|.

Passo 2

Fatoramos dentro da raiz:
x^4-7x^2=x^2(x^2-7),
logo
raizx^4-7x^2 =raizx^2;raizx^2-7 =|x|;raizx^2-7

Passo 3

Para integrar |x|raizx^2-7 precisamos dividir em dois casos, pois |x| muda de sinal em x=0. Além disso, a raiz raizx^2-7 exige x^2>=7.
  1. Se x>=raiz7, então |x|=x.
  2. Se x<= -raiz7, então |x|=-x.

Passo 4

Caso x>=raiz7:
integral raizx^4-7x^2,dx =integral x,raizx^2-7,dx
Fazemos u=x^2-7, logo du=2x,dx ou x,dx=tfrac12,du. Assim,
integral x,raizx^2-7,dx =12integral u^1/2,du =12cdot23u^3/2+C =13(x^2-7)^3/2+C

Passo 5

Caso x<= -raiz7:
integral raizx^4-7x^2,dx =integral (-x),raizx^2-7,dx =-integral x,raizx^2-7,dx =-13(x^2-7)^3/2+C

Resposta

Para x>=raiz7:
integral raizx^4-7x^2,dx =13(x^2-7)^3/2+C
Para x<= -raiz7:
integral raizx^4-7x^2,dx =-13(x^2-7)^3/2+C

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