Utilize a integral tripla para determinar o volume da região:
(a) abaixo de z=8-y e acima da região no plano x y limitada por y=2 x, x=3 e y=0.
(b) no primeiro octante que está abaixo de 4 x+8 y+z=16.
(c) atrás de 6 x+3 y+3 z=15 na frente do triângulo no plano x z de vértices neste plano (0,0),(0,4) e (2,4).
(d) limitada por y=x^{2}+z^{2} e y=\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
(e) atrás de x+6 y+2 z=8 na frente da região no plano y z limitada por z=2 y e z=\sqrt{4 y}.
Passo 1
Você me pediu para usar integrais triplas (ou duplas quando for mais prático) para determinar volumes de cinco regiões diferentes. Vou listar claramente o que cada item pede e os dados que temos:
(a) Calcular o volume abaixo da superfície z=8-y e acima da região do plano x y limitada por y=2x, x=3 e y=0.
(b) Calcular o volume no primeiro octante (ou seja, x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0) que está abaixo do plano 4x+8y+z=16.
(c) Calcular o volume da região que fica “atrás” do plano 6x+3y+3z=15 e “na frente” do triângulo no plano x z de vértices (0,0),(0,4),(2,4). Os vértices estão no plano x z, ou seja, têm y=0.
(d) Calcular o volume da região limitada pelas superfícies y=x^{2}+z^{2} e y=\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
(e) Calcular o volume da região “atrás” do plano x+6y+2z=8 e “na frente” da região no plano y z limitada por z=2y e z=\sqrt{4y}.
Em todos os itens vou:
Identificar a projeção (a base) no plano adequado.
Escolher uma ordem de integração conveniente.
Montar a integral (explico bem os limites).
Calcular passo a passo as integrais até obter o volume.
Passo 2
(a) Interpretação e projeção no plano xy.
A “base” é a região no plano xy limitada por y=2x, x=3 e y=0. Essa região é um triângulo com vértices (0,0), (3,0) e (3,6) porque em x=3 temos y=2\cdot3=6. Então podemos descrever a base por
0\le x\le 3,\qquad 0\le y\le 2x.
A superfície superior é z=8-y e abaixo da base assumimos z=0 (ou "acima da região no plano xy" significa acima do plano z=0). Logo o volume é
V=\iint_{R}(8-y)\,dA,
onde R é a base do triângulo.
Passo 3
(a) Cálculo da integral dupla (resolvendo a tripla de forma reduzida).
(Comentário prático: é também um tetraedro com interceptos x=4, y=2, z=16, então V=\dfrac{1}{6}\cdot4\cdot2\cdot16=\dfrac{64}{3}, mesmo resultado.)
Passo 6
(c) Entendimento geométrico e projeção no plano xz.
O triângulo dado está no plano xz (ou seja y=0) com vértices (0,0),(0,4),(2,4). Tomando coordenadas (x,z) para a projeção, esse triângulo é descrito por
0\le x\le 2,\qquad 2x\le z\le 4,
porque a aresta inclinada que liga (0,0) a (2,4) tem equação z=2x.
A superfície (plano) é 6x+3y+3z=15. Isolando y,
y=5-2x-z.
A interpretação "atrás do plano … na frente do triângulo no plano xz" vou entender como: o sólido está entre y=0 (o plano do triângulo, frente) e o plano y=5-2x-z (atrás), tomando a porção onde y\ge0. Portanto, para cada ponto (x,z) da projeção, y varia de 0 até 5-2x-z, desde que essa quantidade seja não negativa. Logo o volume é
V=\iint_{D}\big(5-2x-z\big)\,dA_{xz},
onde D é a parte do triângulo em que 5-2x-z\ge0.
Passo 7
(c) Determinar a região D (é necessário dividir em dois trechos).
Precisamos achar os pontos (x,z) do triângulo com z entre 2x e 4 tais que z\le 5-2x (porque 5-2x-z\ge0). Então comparamos a reta z=4 e a reta z=5-2x:
Para x pequeno, 5-2x\ge4 enquanto que para x maior 5-2x<4. O corte ocorre em 5-2x=4\Rightarrow x=0,5.
Também o limite superior deve ser \ge limite inferior z=2x; isso exige 2x\le 5-2x\Rightarrow x\le 1{,}25.
Assim x vai de 0 até 1{,}25; temos que dividir:
Para 0\le x\le 0{,}5: z varia de 2x até 4 (pois 5-2x\ge4).
Para 0{,}5\le x\le 1{,}25: z varia de 2x até 5-2x.
Passo 8
(c) Montagem das integrais e cálculo (primeiro trecho 0\le x\le 0{,}5).
Em x=1{,}25: 12{,}5\cdot1{,}25-10\cdot1{,}5625+\frac{8}{3}\cdot1{,}953125
=15{,}625-15{,}625+\frac{15{,}625}{3}=\frac{15{,}625}{3}.
Em x=0{,}5: 12{,}5\cdot0{,}5-10\cdot0{,}25+\frac{8}{3}\cdot0{,}125
=6{,}25-2{,}5+\frac{1}{3}=3{,}75+\frac{1}{3}=4{,}083333\ldots
Subtraindo numericamente ou em frações chegamos a V_{2}=1{,}125=\dfrac{9}{8}.
Passo 10
(c) Soma das parcelas e resultado final do item (c).
Somando V=V_{1}+V_{2}=4+\dfrac{9}{8}=\dfrac{32}{8}+\dfrac{9}{8}=\dfrac{41}{8}.
Então o volume pedido no item (c) é \dfrac{41}{8}.
Passo 11
(d) Observação de simetria e mudança para coordenadas cilíndricas “rotacionadas”.
As superfícies envolvidas depend apenas de r=\sqrt{x^{2}+z^{2}} e de y. É natural usar coordenadas cilíndricas em que tomamos r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}, ângulo \theta em torno do eixo y, e y vertical. As equações ficam:
As interseções ocorrem quando r^{2}=r\Rightarrow r=0 ou r=1. Para 0\le r\le1 tem-se r\ge r^{2}, logo y varia de r^{2} até r. O elemento de área na projeção (o jacobiano na integração sobre x,z) dá um fator r. Assim
A região no plano yz é limitada por z=2y e z=\sqrt{4y}=2\sqrt{y}. Interseção: resolvendo 2y=2\sqrt{y} dá \sqrt{y}=0 ou \sqrt{y}=1, então y=0 e y=1; logo 0\le y\le1. Para 0<y<1 temos 2\sqrt{y}>2y, então podemos tomar para a projeção 0\le y\le1,\;2y\le z\le 2\sqrt{y}.
O plano que limita na direção x é x+6y+2z=8, isolando x obtemos x=8-6y-2z. Supondo que o sólido esteja entre o plano x=0 (frente) e esse plano (atrás), o volume é
V=\iint_{R}\big(8-6y-2z\big)\,dA_{yz},
com R=\{(y,z):0\le y\le1,\;2y\le z\le 2\sqrt{y}\}.