Calcule:
(a) integral-1^1 arctan y cdot e^arctan y1+y^2 d y
(b) integral raizx^2-1x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular duas integrais: (a) uma integral definida envolvendo arctan y e e^arctan y, e (b) uma integral indefinida de raizx^2-1/x. Vamos usar técnicas de substituição e integração por partes no item (a) e substituição trigonométrica no item (b).

Passo 2

Para a integral (a), note que a derivada de arctan y é 11+y^2. Fazendo a substituição u=arctan y, temos du=dy1+y^2 e os limites em y=-1,1 passam a u=-tfracpi4,tfracpi4.
A integral vira integral-pi/4^pi/4u,e^u,du. Para calcular, aplicamos integração por partes escolhendo w=u, dw=du e dv=e^u,du, v=e^u.

Passo 3

A integração por partes dá o antiderivado
integral u e^u,du=(u-1)e^u,
logo, avaliando de -pi/4 a pi/4:
(u-1)e^u|-pi/4^pi/4=(tfracpi4-1)e^tfracpi4-(-tfracpi4-1)e^-tfracpi4
Reorganizando e usando identidades hiperbólicas, isso é
pi2cosh(tfracpi4)-2sinh(tfracpi4).

Passo 4

Para a integral (b) integralraizx^2-1xdx, usamos a substituição trigonométrica x=sectheta. Assim raizx^2-1=tantheta e dx=secthetatantheta,dtheta.
Substituindo, a integral fica
integraltanthetasecthetacdotsecthetatantheta,dtheta=integraltan^2theta,dtheta=integral(sec^2theta-1),dtheta

Passo 5

Integramos em theta:
integral(sec^2theta-1)dtheta=tantheta-theta+C
Voltando a x por tantheta=raizx^2-1 e , obtemos o resultado final:
.

Resposta

(a) pi2coshl(tfracpi4r)-2sinhl(tfracpi4r)
(b)

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