O exercício pede para calcular duas integrais: (a) uma integral definida envolvendo e , e (b) uma integral indefinida de . Vamos usar técnicas de substituição e integração por partes no item (a) e substituição trigonométrica no item (b).
Passo 2
Para a integral (a), note que a derivada de é . Fazendo a substituição , temos e os limites em passam a .
A integral vira . Para calcular, aplicamos integração por partes escolhendo , e , .
Passo 3
A integração por partes dá o antiderivado
logo, avaliando de a :
Reorganizando e usando identidades hiperbólicas, isso é pi2cosh(tfracpi4)-2sinh(tfracpi4).
Passo 4
Para a integral (b) integralraizx^2-1xdx, usamos a substituição trigonométrica x=sectheta. Assim raizx^2-1=tantheta e dx=secthetatantheta,dtheta.
Substituindo, a integral fica