Esboce a região delimitada pelas curvas y=x, y=3 x, y=-x+2 e calcule sua área.

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a área da região triangular limitada pelas retas y = x, y = 3x e y = -x + 2. O conteúdo é geometria analítica no plano; vamos encontrar os vértices dessa região resolvendo sistemas de retas e depois calcular a área usando a fórmula do determinante em um triângulo.

Passo 2

Intersecção de y = x com y = -x + 2. Igualando as expressões:
x = -x + 2
2x = 2implies x = 1, y = 1
Vértice B = (1,1).

Passo 3

Intersecção de y = 3x com y = -x + 2. Igualando:
3x = -x + 2
4x = 2implies x = tfrac12, y = 3cdot tfrac12 = tfrac32
Vértice C = l(tfrac12,tfrac32r).

Passo 4

Intersecção de y = x com y = 3x. Igualando:
x = 3x
2x = 0implies x = 0, y = 0
Vértice A = (0,0).

Passo 5

Temos o triângulo de vértices A=(0,0), B=(1,1), C=l(tfrac12,tfrac32r). O determinante formado pelos vetores AB e AC é
1cdot tfrac32 ;-;tfrac12cdot 1 ;=;1
e, portanto, a área é
tfrac12 times 1 ;=;tfrac12

Resposta

A área da região é tfrac12.

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