Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
d^3 zd theta^3-3 d^2 zd theta^2+2 d zd theta=e^3 theta1+e^theta

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de terceira ordem
d^3zdtheta^3 - 3d^2zdtheta^2 + 2dzdtheta = e^3theta1+e^theta
usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar (i) encontrar a solução geral da homogênea, (ii) montar o ansatz de variação de parâmetros e (iii) resolver para as funções dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução da equação homogênea
z''' - 3z'' + 2z' = 0
A equação característica é
lambda^3 - 3lambda^2 +2lambda = lambda(lambda-1)(lambda-2)=0,
cujas raízes são lambda=0,1,2. Logo, uma base de soluções é
y1(theta)=1, y2(theta)=e^theta, y3(theta)=e^2theta,
e a solução geral homogênea é
zh(theta)=C1 + C2 e^theta + C3 e^2theta

Passo 3

Propomos uma solução particular da forma
zp(theta)=u1(theta),y1(theta)+u2(theta),y2(theta)+u3(theta),y3(theta),
com y1=1, y2=e^theta, y3=e^2theta. Pelo método de variação de parâmetros, impomos o sistema
u1' + u2'e^theta + u3'e^2theta = 0, u1'u2'e^theta + 2,u3'e^2theta = 0, u1'u2'e^theta + 4,u3'e^2theta = dfrace^3theta1+e^theta

Passo 4

Da segunda linha segue
u2' e^theta + 2u3'e^2theta=0 Longrightarrow u2'=-2,u3'e^theta
Substituindo na terceira linha:
(-2u3'e^theta),e^theta + 4u3'e^2theta =2u3'e^2theta =e^3theta1+e^theta Longrightarrow u3'=e^theta2(1+e^theta)
Logo
u2'=-2,u3'e^theta =-e^2theta1+e^theta,
e da primeira linha
u1'=-u2'e^theta - u3'e^2theta =e^3theta2(1+e^theta)

Passo 5

Integramos cada um usando a substituição t=e^theta:
u1(theta) =12integrale^3theta1+e^theta,dtheta =e^2theta4-e^theta2+12lnl(1+e^thetar),
u2(theta) =-integrale^2theta1+e^theta,dtheta =-e^theta+lnl(1+e^thetar),
u3(theta) =12integrale^theta1+e^theta,dtheta =e^theta2-12lnl(1+e^thetar)

Passo 6

A solução particular fica
zp = u1cdot1 + u2,e^theta + u3,e^2theta
Substituindo ui e simplificando, obtém-se
zp(theta) =e^3theta2 -3,e^2theta4 -e^2theta2lnl(1+e^thetar) -e^theta2 +e^thetalnl(1+e^thetar) +12lnl(1+e^thetar)

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é
z(theta)=zh(theta)+zp(theta) =C1 + C2 e^theta + C3 e^2theta +e^3theta2 -3,e^2theta4 -e^2theta2lnl(1+e^thetar) -e^theta2 +e^thetalnl(1+e^thetar) +12lnl(1+e^thetar)

Resposta

boxed z(theta) =C1 + C2 e^theta + C3 e^2theta +e^3theta2 -3,e^2theta4 -e^2theta2lnl(1+e^thetar) -e^theta2 +e^thetalnl(1+e^thetar) +12lnl(1+e^thetar)

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