Considere a função
dada por:
.
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:a.
cresce em
e decresce em
.b.
decresce em
e cresce em
.c.
decresce em
e cresce em
.d. O valor máximo de
é 2 .e. A derivada de
no ponto
é negativo.
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x + 1} $ no intervalo
. O objetivo é analisar o comportamento dessa função para saber se ela está crescendo ou decrescendo em certos intervalos, além de verificar outras características como valor máximo e a derivada em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando em termos de crescimento ou decrescimento.
A função é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada é:
Aqui, $ u(x) = x^{2} + 3 $ e $ v(x) = x + 1 $.
Calculando as derivadas:
Agora substituímos na fórmula da derivada:
Simplificando o numerador:
Então:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) $ para entender onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos encontrar onde $ f’(x) $ é positiva ou negativa.
Primeiro, observamos que o denominador $ (x + 1)^{2} $ é sempre positivo para $ x \geq 0 $, então o sinal da derivada depende apenas do numerador $ x^{2} + 2x - 3 $.
Vamos resolver a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Como estamos considerando $ x \geq 0 $, apenas $ x = 1 $ é relevante.
Agora, vamos usar essa raiz para determinar o sinal do numerador em diferentes intervalos:
-
Para $ 0 \leq x < 1 $:
Escolha $ x = 0 $:Então, $ f’(x) < 0 $ → função decresce. -
Para $ x > 1 $:
Escolha $ x = 2 $:Então, $ f’(x) > 0 $ → função cresce.
Passo 4
Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar as opções:
a. $ f $ cresce em
e decresce em
→ Incorreto (está o contrário).
b. $ f $ decresce em
e cresce em
→ Incorreto (o ponto de mudança é em $ x = 1 $, não 2).
c. $ f $ decresce em
e cresce em
→ Correto.
d. O valor máximo de $ f $ é 2 → Incorreto (a função não possui um máximo no intervalo dado).
e. A derivada de $ f $ no ponto $ x = 2 $ é negativa → Incorreto (a derivada é positiva em $ x = 2 $).
Resposta
c. $ f $ decresce em
e cresce em
.