Considere a função f:[0,+infty) R dada por:
f(x)=x^2+3x+1.
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:a. f cresce em [0,1) e decresce em (1,+infty).b. f decresce em [0,2) e cresce em (2,+infty).c. f decresce em [0,1) e cresce em (1,+infty).d. O valor máximo de f é 2 .e. A derivada de f no ponto x=2 é negativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por $ f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x + 1} $ no intervalo f(x) = x^2 + 3x + 1 . O objetivo é analisar o comportamento dessa função para saber se ela está crescendo ou decrescendo em certos intervalos, além de verificar outras características como valor máximo e a derivada em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando em termos de crescimento ou decrescimento.
A função é:
f(x)
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada é:
f(x) = x^2 + 3x + 1
Aqui, $ u(x) = x^{2} + 3 $ e $ v(x) = x + 1 $.
Calculando as derivadas:
u(x)v(x)
Agora substituímos na fórmula da derivada:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Simplificando o numerador:
u(x) = x^2 + 3
Então:
v(x) = x + 1
Portanto:
u'(x) = 2x e v'(x) = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada $ f’(x) $ para entender onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos encontrar onde $ f’(x) $ é positiva ou negativa.
Primeiro, observamos que o denominador $ (x + 1)^{2} $ é sempre positivo para $ x \geq 0 $, então o sinal da derivada depende apenas do numerador $ x^{2} + 2x - 3 $.
Vamos resolver a equação:
f'(x)
Usando a fórmula de Bhaskara:
f'(x)
Portanto, as raízes são:
(x + 1)^2
Como estamos considerando $ x \geq 0 $, apenas $ x = 1 $ é relevante.
Agora, vamos usar essa raiz para determinar o sinal do numerador em diferentes intervalos:
  1. Para $ 0 \leq x < 1 $:
    Escolha $ x = 0 $:
    x >= 0
    Então, $ f’(x) < 0 $ → função decresce.
  2. Para $ x > 1 $:
    Escolha $ x = 2 $:
    x^2 + 2x - 3
    Então, $ f’(x) > 0 $ → função cresce.

Passo 4

Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, vamos analisar as opções:
a. $ f $ cresce em f e decresce em [0,1)Incorreto (está o contrário).
b. $ f $ decresce em (1,+infty) e cresce em f Incorreto (o ponto de mudança é em $ x = 1 $, não 2).
c. $ f $ decresce em [0,2) e cresce em (2,+infty)Correto.
d. O valor máximo de $ f $ é 2 → Incorreto (a função não possui um máximo no intervalo dado).
e. A derivada de $ f $ no ponto $ x = 2 $ é negativa → Incorreto (a derivada é positiva em $ x = 2 $).

Resposta

c. $ f $ decresce em f e cresce em [0,1).

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