Seja f:(a, b) R uma função derivável.
Considere as afirmações:
(I) Se f atinge o valor máximo em x0 in(a, b), então f^prime(x0)=0.
(II) Se f^prime(x)=0, forall x in(a, b), então a reta tangente ao gráfico de f em qualquer ponto é paralela ao eixo dos x.
É correto afirmar que:
Escolha uma opção:a. (I) é verdadeira e (II) é falsa.b. (I) e (II) são verdadeiras.c. (I) é falsa e (II) é verdadeira.d. É impossível afirmar algo sobre f.e. (I) e (II) são falsas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função derivável f: (a, b) R e duas afirmações sobre ela:
  1. Afirmação I: Se f atinge um valor máximo em x0 in (a, b) , então a derivada de f em x0 é zero, ou seja, f'(x0) = 0 .
  2. Afirmação II: Se a derivada de f é zero para todo x em (a, b) , isto é, f'(x) = 0 para todo x in (a, b) , então a reta tangente ao gráfico de f em qualquer ponto é paralela ao eixo dos x .
Para resolver, vamos analisar cada afirmação separadamente utilizando conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Analisando a Afirmação I:
Quando uma função f atinge um valor máximo em um ponto x0 interior ao intervalo (a, b) , isso significa que há uma “ponta” no gráfico da função nesse ponto. Para que isso aconteça de forma suave (já que f é derivável), a inclinação da função nesse ponto deve ser horizontal. Isso implica que a derivada nesse ponto é zero.
Conclusão: A Afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a Afirmação II:
Se a derivada de f é zero para todo x in (a, b) , isso significa que não há variação na inclinação da função; a função é constante em todo o intervalo. A reta tangente a um ponto de uma função constante é uma linha horizontal, ou seja, paralela ao eixo dos x .
Conclusão: A Afirmação II é verdadeira.

Resposta

A opção correta é b. (I) e (II) são verdadeiras.

Exercícios relacionados