Calcule
integral arctg(4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral arctg(4x),dx
O conteúdo envolvido é a integração de uma função inversa trigonométrica, que vamos resolver usando o método de integração por partes.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = arctg(4x), dv = dx
Então precisamos de du e v.

Passo 3

Calculamos
du = ddxl[arctg(4x)r],dx = 41+(4x)^2,dx = 41+16x^2,dx,
e
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Na fórmula de partes surge o integral
integral xcdot41+16x^2,dx =4integralx1+16x^2,dx
Fazendo a substituição t=1+16x^2, dt=32x,dx, obtemos
4integralx1+16x^2,dx =4integral132dtt =18lnl(1+16x^2r)+C

Passo 5

Substituindo na fórmula de integração por partes
integral u,dv =uv-integral v,du
temos
integral arctg(4x),dx = x,arctg(4x) - 18lnl(1+16x^2r) + C

Resposta

boxed integral arctg(4x),dx = x,arctg(4x) - 18lnl(1+16x^2r) + C

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