Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=x^3

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=x^3 que a gente determine:
– o domínio;
– a imagem;
– a paridade;
– o período;
– e por fim esboce o gráfico.
Para isso vamos usar definições de domínio/imagem de funções reais, teste de paridade ( f(-x)) e conceito de periodicidade.

Passo 2

O domínio de uma função polinomial é sempre todo o conjunto dos números reais, pois não há divisão por zero nem raiz de índice par de número negativo. Logo,
Dom(f)=R

Passo 3

A imagem de uma função polinomial de grau ímpar e coeficiente líder positivo também cobre todos os valores reais, pois à medida que xto+infty, f(x)to+infty e, quando xto-infty, f(x)to-infty. Assim,
Im(f)=R

Passo 4

Para verificar a paridade, calculamos f(-x):
f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)
Como f(-x)=-f(x) para todo x, a função é ímpar.

Passo 5

Uma função periódica satisfaz f(x+T)=f(x) para algum T>0. No caso de f(x)=x^3, não existe T>0 que mantenha essa igualdade para todos os x. Portanto, f não é periódica.

Passo 6

Para esboçar o gráfico de f(x)=x^3, note:
– passa pela origem (0,0);
– é crescente em todo R;
– tem ponto de inflexão em (0,0);
– alguns pontos-chave são
(-2,-8),;(-1,-1),;(0,0),;(1,1),;(2,8).
Basta ligar esses pontos com uma curva em “S” suave, saindo do 3º quadrante e subindo para o 1º quadrante.

Resposta

Domínio: R
Imagem: R
Paridade: ímpar
Período: não é periódica
Gráfico: curva em “S” crescente com ponto de inflexão em (0,0), passando pelos pontos (-2,-8), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,8).

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