Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente determine:
– o domínio;
– a imagem;
– a paridade;
– o período;
– e por fim esboce o gráfico.
Para isso vamos usar definições de domínio/imagem de funções reais, teste de paridade ( ) e conceito de periodicidade.
– o domínio;
– a imagem;
– a paridade;
– o período;
– e por fim esboce o gráfico.
Para isso vamos usar definições de domínio/imagem de funções reais, teste de paridade (
Passo 2
O domínio de uma função polinomial é sempre todo o conjunto dos números reais, pois não há divisão por zero nem raiz de índice par de número negativo. Logo,
Passo 3
A imagem de uma função polinomial de grau ímpar e coeficiente líder positivo também cobre todos os valores reais, pois à medida que
,
e, quando
,
. Assim,
Passo 4
Para verificar a paridade, calculamos
:
Como
para todo
, a função é ímpar.
Passo 5
Uma função periódica satisfaz
para algum
. No caso de
, não existe
que mantenha essa igualdade para todos os
. Portanto,
não é periódica.
Passo 6
Para esboçar o gráfico de
, note:
– passa pela origem ;
– é crescente em todo ;
– tem ponto de inflexão em ;
– alguns pontos-chave são
.
Basta ligar esses pontos com uma curva em “S” suave, saindo do 3º quadrante e subindo para o 1º quadrante.
– passa pela origem
– é crescente em todo
– tem ponto de inflexão em
– alguns pontos-chave são
Basta ligar esses pontos com uma curva em “S” suave, saindo do 3º quadrante e subindo para o 1º quadrante.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Paridade: ímpar
Período: não é periódica
Gráfico: curva em “S” crescente com ponto de inflexão em , passando pelos pontos
,
,
,
,
.
Imagem:
Paridade: ímpar
Período: não é periódica
Gráfico: curva em “S” crescente com ponto de inflexão em