Calcule
integral xe^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral xe^2x dx. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integração por partes. Essa técnica é baseada na regra do produto da derivada e nos ajuda quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du

Passo 3

Vamos identificar as partes u e dv na nossa integral integral xe^2x dx:
  • Escolhemos u = x porque simplifica quando derivamos.
  • Então, du = dx.
E para dv:
  • dv = 1e^2x dx = e^-2x dx
  • Integrando dv, temos v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cdot e^-2x dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -x2 e^-2x + 12 integral e^-2x dx
Agora, vamos resolver a integral restante integral e^-2x dx:
integral e^-2x dx = -12 e^-2x + C

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
= -x2 e^-2x + 12 (-12 e^-2x) + C
= -x2 e^-2x - 14 e^-2x + C

Passo 7

Podemos fatorar -12 e^-2x para tornar a expressão mais limpa:
= -e^-2x2 (x + 12) + C

Resposta

A integral integral xe^2x dx é igual a:
-e^-2x2 (x + 12) + C

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