Calcule a integral (a) integral0^1(16 t^3 i+2 t1+t^2 j) d t (b) integral0^pi / 2(3 sin ^2 t cos t i+2 sin t cos t j) d t Passo 1O enunciado pede para calcular duas integrais de funções vetoriais de t em R^2 definidas nos intervalos [0,1] e [0,pi/2]. Vamos usar a propriedade de linearidade da integral, isto é, integrar cada componente vetorial separadamente. Passo 2Para a integral integral0^1l(16,t^3,i+2t1+t^2,jr),dt integramos componente a componente. A componente em i é integral0^116,t^3,dt A antiderivada é 16cdott^44=4t^4, logo, avaliando de 0 a 1, obtemos 4cdot1^4-4cdot0^4=4 A componente em j é integral0^12t1+t^2,dt Fazendo u=1+t^2, du=2t,dt, os limites vão de u=1 a u=2 e a integral vira integral1^21u,du=l[ln ur]1^2=ln2-ln1=ln2 Portanto a integral (a) é 4,i+ln2,j Passo 3Para a integral integral0^pi/2l(3sin^2tcos t,i+2sin tcos t,jr),dt novamente separamos as componentes. A componente em i é integral0^pi/23sin^2tcos t,dt Com u=sin t, du=cos t,dt e u variando de 0 a 1, temos 3integral0^1u^2,du=3cdotu^33|0^1=1 A componente em j é integral0^pi/22sin tcos t,dt Como 2sin tcos t=sin(2t), integral0^pi/2sin(2t),dt =-tfrac12cos(2t)|0^pi/2 =-tfrac12l(cospi-cos0r) =-tfrac12(-1-1)=1 Logo a integral (b) vale 1,i+1,j Resposta(a) 4,i+ln2,j (b) 1,i+1,j MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada. 1s^5 Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada. 2 s+16s^2+4 s+13 Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada. s-12 s^2+s+6 Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine r(t)=lang<=45 cos t, 1-sin t,-35 cos trang<= (a) O comprimento de arco quando t percorre o intervalo [0, pi]. (b) A curvatura kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 no ponto lang<= 4 / 5,1,3 / 5rang<=