Calcule a integral
(a) integral0^1(16 t^3 i+2 t1+t^2 j) d t
(b) integral0^pi / 2(3 sin ^2 t cos t i+2 sin t cos t j) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais de funções vetoriais de t em R^2 definidas nos intervalos [0,1] e [0,pi/2]. Vamos usar a propriedade de linearidade da integral, isto é, integrar cada componente vetorial separadamente.

Passo 2

Para a integral
integral0^1l(16,t^3,i+2t1+t^2,jr),dt
integramos componente a componente.
A componente em i é
integral0^116,t^3,dt
A antiderivada é
16cdott^44=4t^4,
logo, avaliando de 0 a 1, obtemos
4cdot1^4-4cdot0^4=4
A componente em j é
integral0^12t1+t^2,dt
Fazendo u=1+t^2, du=2t,dt, os limites vão de u=1 a u=2 e a integral vira
integral1^21u,du=l[ln ur]1^2=ln2-ln1=ln2
Portanto a integral (a) é
4,i+ln2,j

Passo 3

Para a integral
integral0^pi/2l(3sin^2tcos t,i+2sin tcos t,jr),dt
novamente separamos as componentes.
A componente em i é
integral0^pi/23sin^2tcos t,dt
Com u=sin t, du=cos t,dt e u variando de 0 a 1, temos
3integral0^1u^2,du=3cdotu^33|0^1=1
A componente em j é
integral0^pi/22sin tcos t,dt
Como 2sin tcos t=sin(2t),
integral0^pi/2sin(2t),dt =-tfrac12cos(2t)|0^pi/2 =-tfrac12l(cospi-cos0r) =-tfrac12(-1-1)=1
Logo a integral (b) vale
1,i+1,j

Resposta

(a) 4,i+ln2,j
(b) 1,i+1,j

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