Para a curva parametrizada pela função abaixo, determine
r(t)=lang<=45 cos t, 1-sin t,-35 cos trang<=
(a) O comprimento de arco quando t percorre o intervalo [0, pi].
(b) A curvatura kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3 no ponto lang<= 4 / 5,1,3 / 5rang<=

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=llang<= tfrac45cos t,;1-sin t,;-tfrac35cos trrang<=
e pede
(a) o comprimento de arco para t em [0,pi];
(b) a curvatura
kappa(t) =l|r'(t)times r''(t)r||r'(t)|^3
no ponto lang<= 4/5,1,3/5rang<=.
Para resolver (a) vamos calcular r'(t) e sua norma; para (b) primeiro checar se esse ponto pertence de fato à curva.

Passo 2

Calculemos
r'(t) =llang<= -tfrac45sin t,;- cos t,;tfrac35sin trrang<=
Então
|r'(t)| =raizl(-tfrac45sin tr)^2+(-cos t)^2+l(tfrac35sin tr)^2 =raiztfrac1625sin^2t+cos^2t+tfrac925sin^2t =raizsin^2t+cos^2t =1
Como a velocidade é constante igual a 1, o comprimento de arco é
integral0^pi|r'(t)|,dt =integral0^pi1,dt =pi

Passo 3

Para (b) precisamos de um t0 tal que
r(t0) =llang<= tfrac45,,1,,tfrac35rrang<=
Isto é, o sistema
45cos t0=45, 1-sin t0=1, -35cos t0=35
Da primeira equação vem cos t0=1. Da segunda, sin t0=0, consistente com cos t0=1. Mas a terceira dá cos t0=-1, o que contradiz cos t0=1. Logo não existe t0 que satisfaça todas simultaneamente.

Resposta

(a) pi.
(b) O ponto lang<=4/5,1,3/5rang<= não pertence à curva, de modo que a curvatura não está definida nesse ponto.

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