Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada.
s-12 s^2+s+6

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=s-12s^2+s+6
O conteúdo utilizado será: completar o quadrado no denominador, reescrever o numerador em função de s+a e usar as fórmulas
L^-1ls+a(s+a)^2+omega^2r=e^-a tcos(omega t),
L^-1lomega(s+a)^2+omega^2r=e^-a tsin(omega t)

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 2s^2+s+6.
2s^2+s+6 =2l(s^2+tfrac12s+3r) =2l((s+tfrac14)^2-,tfrac116+3r) =2l((s+tfrac14)^2+tfrac4716r)
Então
F(s) =s-12l((s+tfrac14)^2+(tfracraiz474)^2r)

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de s+tfrac14:
s-1=(s+tfrac14)-tfrac54
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F(s) =12,s+tfrac14(s+tfrac14)^2+(tfracraiz474)^2 -12,tfrac54(s+tfrac14)^2+(tfracraiz474)^2
Para inverter: note que omega=tfracraiz474. A primeira fração é do tipo tfracs+a(s+a)^2+omega^2 e a segunda se torna
tfrac54(s+tfrac14)^2+omega^2 =54omega,omega(s+tfrac14)^2+omega^2
Portanto, aplicando as fórmulas de transformada inversa, obtemos
f(t) =12,e^-t/4cos!l(tfracraiz474,tr) -12cdot54omega;e^-t/4sin!l(tfracraiz474,tr)
Como omega=tfracraiz474, temos tfrac54omega=tfrac5raiz47.

Resposta

f(t) =12,e^-t/4cos!l(tfracraiz474,tr) -52raiz47;e^-t/4sin!l(tfracraiz474,tr)

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