Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa! O que a gente tem aqui é uma função no domínio da frequência, especificamente
, e precisamos encontrar a sua transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, como completar o quadrado no denominador e reconhecer formas padrões que facilitam a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Para facilitar a transformação inversa, é útil completar o quadrado nesse polinômio. Isso nos ajuda a identificar termos que correspondem às funções trigonométricas nas transformadas inversas.
Completemos o quadrado:
Agora, nossa função fica:
Passo 3
Vamos reescrever o numerador
de uma forma que facilite a identificação com as formas conhecidas da transformada de Laplace inversa. Observemos que:
Portanto, podemos reescrever a função assim:
Passo 4
Agora, temos a função dividida em duas frações:
Vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de
é
e de
é
.
Aplicando isso às nossas frações:
- Para
, temos e , então a inversa será . - Para
, usando , a inversa será .
Resposta
A transformada de Laplace inversa da função
é: