Nos problemas 1-10, determine a transformada de Laplace inversa da função dada.
2 s+16s^2+4 s+13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace inversa! O que a gente tem aqui é uma função no domínio da frequência, especificamente 2 s + 16s^2 + 4 s + 13, e precisamos encontrar a sua transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace, como completar o quadrado no denominador e reconhecer formas padrões que facilitam a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador s^2 + 4 s + 13. Para facilitar a transformação inversa, é útil completar o quadrado nesse polinômio. Isso nos ajuda a identificar termos que correspondem às funções trigonométricas nas transformadas inversas.
Completemos o quadrado:
s^2 + 4s + 13 = (s^2 + 4s + 4) + 9 = (s + 2)^2 + 9
Agora, nossa função fica:
2s + 16(s + 2)^2 + 9

Passo 3

Vamos reescrever o numerador 2s + 16 de uma forma que facilite a identificação com as formas conhecidas da transformada de Laplace inversa. Observemos que:
2s + 16 = 2(s + 2) + 12
Portanto, podemos reescrever a função assim:
2(s + 2) + 12(s + 2)^2 + 9 = 2(s + 2)(s + 2)^2 + 9 + 12(s + 2)^2 + 9

Passo 4

Agora, temos a função dividida em duas frações:
2(s + 2)(s + 2)^2 + 9 e 12(s + 2)^2 + 9
Vamos lembrar que a transformada de Laplace inversa de s - a(s - a)^2 + b^2 é e^a t cos(bt) e de b(s - a)^2 + b^2 é e^a t sin(bt).
Aplicando isso às nossas frações:
  1. Para 2(s + 2)(s + 2)^2 + 9, temos a = -2 e b = 3, então a inversa será 2 e^-2 t cos(3 t).
  2. Para 12(s + 2)^2 + 9, usando b = 3, a inversa será 12 e^-2 t cdot sin(3 t)3 = 4 e^-2 t sin(3 t).

Resposta

A transformada de Laplace inversa da função 2 s + 16s^2 + 4 s + 13 é:
f(t) = 2 e^-2 t cos(3 t) + 4 e^-2 t sin(3 t)

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