Calcule a integral do campo F(x, y)=(x-2 y) imath+3 x jmath ao longo da parábola y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função vetorial F(x, y) = (x - 2y) imath + 3x jmath ao longo da parábola y = x^2. Isso envolve o conceito de integral de linha em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a curva é dada por y = x^2, podemos escolher x como nosso parâmetro, ou seja, deixar x = t. Assim, temos:
x(t) = t y(t) = t^2
Aqui, t varia de um ponto inicial a um ponto final na curva. Como os limites não foram especificados, vamos considerar uma geração geral.

Passo 3

Agora, precisamos achar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t para encontrar dx e dy:
dxdt = 1 dydt = 2t
Então, temos:
dx = dt dy = 2t , dt

Passo 4

A próxima etapa é substituir x, y, dx e dy na função vetorial F(x, y):
F(x(t), y(t)) = (t - 2t^2) imath + 3t jmath

Passo 5

Agora, a integral de linha é dada por:
integralC F cdot dr = integrala^b [ Fx dxdt + Fy dydt ] dt
Substituindo os valores que encontramos:
integrala^b [ (t - 2t^2)(1) + 3t(2t) ] dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(t - 2t^2) + 6t^2 = t + 4t^2
Então, a integral fica:
integrala^b (t + 4t^2) dt

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral t , dt = 12 t^2 integral 4t^2 , dt = 43 t^3
Portanto, a antiderivada é:
12 t^2 + 43 t^3

Passo 8

Finalmente, aplicamos os limites de integração de a a b:
[ 12 b^2 + 43 b^3 ] - [ 12 a^2 + 43 a^3 ]

Resposta

A integral da função vetorial F(x, y) ao longo da parábola y = x^2 é:
12 b^2 + 43 b^3 - ( 12 a^2 + 43 a^3 )

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