Calcule a integral do campo
ao longo da parábola
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função vetorial
ao longo da parábola
. Isso envolve o conceito de integral de linha em cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como a curva é dada por
, podemos escolher
como nosso parâmetro, ou seja, deixar
. Assim, temos:
Aqui,
varia de um ponto inicial a um ponto final na curva. Como os limites não foram especificados, vamos considerar uma geração geral.
Passo 3
Agora, precisamos achar as derivadas de
e
em relação a
para encontrar
e
:
Então, temos:
Passo 4
A próxima etapa é substituir
,
,
e
na função vetorial
:
Passo 5
Agora, a integral de linha é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a antiderivada é:
Passo 8
Finalmente, aplicamos os limites de integração de
a
:
Resposta
A integral da função vetorial
ao longo da parábola
é: