Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
88) sumk=1^infty (-1)^k+1 k ! 6^k

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumk=1^infty(-1)^k+1,k!6^k
verificar (a) convergência absoluta e (b) convergência condicional. Vamos usar o Teste da Razão para a parte absoluta e o Teste do Termo Geral (e requisistos da série alternada) para a parte condicional.

Passo 2

Convergência absoluta significa estudar
sumk=1^infty|(-1)^k+1k!6^k| = sumk=1^inftyk!6^k
Aplicando o Teste da Razão a ak = tfrack!6^k:
L = limktoinftyak+1ak = limktoinfty(k+1)!/6^k+1k!/6^k = limktoinftyk+16 = +infty
Como L>1, a série sum k!/6^k diverge. Logo, não converge absolutamente.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, olhamos a série original alternada e checamos o termo geral:
bk = k!6^k
Um teste necessário de convergência é
limktoinftybk = limktoinftyk!6^k
Mas k! cresce muito mais rápido que 6^k, logo bkto+infty, não tende a zero. Como o termo geral não tende a zero, a série alternada diverge também. Portanto, não há convergência condicional.

Resposta

A série diverge, isto é, não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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