Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
13)
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência
e pede o intervalo de convergência. Para isso vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta padrão para determinar o raio de convergência de séries de potência.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, definimos
Então
L = limktoinfty |(-1)^k+2(k+1)!,x^k+1 (-1)^k+1k!,x^k| = limktoinfty|xk+1| = 0
Pelo teste da razão, a série converge sempre que L<1. Aqui L=0 para todoxinR.
Passo 3
Como o teste da razão dá L=0<1 para qualquer valor de x, o raio de convergência é
R = +infty
e, consequentemente, o intervalo de convergência é