Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
13) sumk=0^infty (-1)^k+1k! x^k

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência
sumk=0^infty(-1)^k+1k!,x^k
e pede o intervalo de convergência. Para isso vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta padrão para determinar o raio de convergência de séries de potência.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, definimos
L ;=;limktoinfty|ak+1,x^k+1ak,x^k| onde ak = (-1)^k+1k!
Então
L = limktoinfty |(-1)^k+2(k+1)!,x^k+1 (-1)^k+1k!,x^k| = limktoinfty|xk+1| = 0
Pelo teste da razão, a série converge sempre que L<1. Aqui L=0 para todo xinR.

Passo 3

Como o teste da razão dá L=0<1 para qualquer valor de x, o raio de convergência é
R = +infty
e, consequentemente, o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

(-infty,infty)

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