Questão: (15 pontos) Achar os pontos sobre a curva
mais próximos do ponto
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar os pontos na curva $ y = x^{2} $ que estão mais próximos do ponto $ P = (0, 3) $. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo, especificamente minimização de distância. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e calcular onde essa distância é mínima na curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ A = (x_1, y_1) $ e $ B = (x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
No nosso caso, um dos pontos é fixo, $ P = (0, 3) $, e o outro ponto está na curva $ y = x^{2} $, então podemos chamar esse ponto de $ Q = (x, x^{2}) $.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com o quadrado da distância, já que a função raiz é crescente e o mínimo do quadrado da distância vai ocorrer no mesmo ponto que o mínimo da distância.
Então, vamos definir:
Passo 4
Agora, nossa tarefa é encontrar o valor de $ x $ que minimiza $ D $. Para isso, vamos diferenciar $ D $ em relação a $ x $ e encontrar onde essa derivada é zero.
Primeiro, vamos expandir $ D $:
Agora, vamos derivar $ D $ em relação a $ x $:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ 4x^{2} - 10 = 0 $ → $ x^{2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $ → $ x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} $
Passo 6
Agora, vamos verificar qual desses valores de $ x $ realmente minimiza $ D $. Para isso, podemos verificar o segundo derivado ou simplesmente comparar os valores de $ D $ nos pontos encontrados.
Calculando $ D $ para cada $ x $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = \sqrt{\frac{5}{2}} $:
- Para $ x = -\sqrt{\frac{5}{2}} $, o valor de $ D $ será o mesmo de $ x = \sqrt{\frac{5}{2}} $, já que $ D $ depende de $ x^{2} $.
Vemos que $ D $ é menor quando $ x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} $ do que quando $ x = 0 $, então esses são os pontos de mínimo.
Resposta
Os pontos na curva $ y = x^{2} $ mais próximos de $ P = (0, 3) $ são: