3^a Questão: (15 pontos) Achar os pontos sobre a curva y=x^2 mais próximos do ponto
P=(0,3)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar os pontos na curva $ y = x^{2} $ que estão mais próximos do ponto $ P = (0, 3) $. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo, especificamente minimização de distância. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e calcular onde essa distância é mínima na curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ A = (x_1, y_1) $ e $ B = (x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada por:
A = (x1, y1)
No nosso caso, um dos pontos é fixo, $ P = (0, 3) $, e o outro ponto está na curva $ y = x^{2} $, então podemos chamar esse ponto de $ Q = (x, x^{2}) $.

Passo 3

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = raiz(x - 0)^2 + (x^2 - 3)^2 = raizx^2 + (x^2 - 3)^2
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com o quadrado da distância, já que a função raiz é crescente e o mínimo do quadrado da distância vai ocorrer no mesmo ponto que o mínimo da distância.
Então, vamos definir:
D = x^2 + (x^2 - 3)^2

Passo 4

Agora, nossa tarefa é encontrar o valor de $ x $ que minimiza $ D $. Para isso, vamos diferenciar $ D $ em relação a $ x $ e encontrar onde essa derivada é zero.
Primeiro, vamos expandir $ D $:
x
Agora, vamos derivar $ D $ em relação a $ x $:
D

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
4x^3 - 10x = 0
Podemos fatorar:
x(4x^2 - 10) = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ 4x^{2} - 10 = 0 $ → $ x^{2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $ → $ x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} $

Passo 6

Agora, vamos verificar qual desses valores de $ x $ realmente minimiza $ D $. Para isso, podemos verificar o segundo derivado ou simplesmente comparar os valores de $ D $ nos pontos encontrados.
Calculando $ D $ para cada $ x $:
  1. Para $ x = 0 $:
x
  1. Para $ x = \sqrt{\frac{5}{2}} $:
D
  1. Para $ x = -\sqrt{\frac{5}{2}} $, o valor de $ D $ será o mesmo de $ x = \sqrt{\frac{5}{2}} $, já que $ D $ depende de $ x^{2} $.
Vemos que $ D $ é menor quando $ x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} $ do que quando $ x = 0 $, então esses são os pontos de mínimo.

Resposta

Os pontos na curva $ y = x^{2} $ mais próximos de $ P = (0, 3) $ são:
y = x^2

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