Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
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Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
quanto à convergência absoluta e à convergência condicional. Para isso vamos usar:
– O teste da divergência (se os termos não tendem a zero, a série diverge).
– A definição de convergência absoluta (olhar ).
– O teste de Leibniz para séries alternantes (precisa que e seja monótona decrescente).
Passo 2
Verificamos a convergência absoluta analisando
Como k^2ln ktoinfty quando ktoinfty, em particular não tende a zero. Pelo teste da divergência, sum k^2/ln k diverge, então a série não converge absolutamente.
Passo 3
Para a convergência condicional olhamos a série original, que é alternante com termos ak =(-1)^k+1bk e bk=k^2/ln k>0. Um requisito mínimo é
limktoinftyak = 0
Mas como bktoinfty, temos limktoinftyaknão existe (os ak oscilam e crescem em módulo). Logo nem o teste de divergência é satisfeito, e a série não converge condicionalmente.
Resposta
A série diverge; não converge nem absolutamente nem condicionalmente.