Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
83) sumk=2^infty k^2(-1)^k+1ln k

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumk=2^infty k^2(-1)^k+1ln k
quanto à convergência absoluta e à convergência condicional. Para isso vamos usar:
– O teste da divergência (se os termos não tendem a zero, a série diverge).
– A definição de convergência absoluta (olhar sum|ak|).
– O teste de Leibniz para séries alternantes (precisa que bkto0 e bk seja monótona decrescente).

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta analisando
sumk=2^inftyl|k^2(-1)^k+1ln kr| =sumk=2^inftyk^2ln k
Como k^2ln ktoinfty quando ktoinfty, em particular não tende a zero. Pelo teste da divergência, sum k^2/ln k diverge, então a série não converge absolutamente.

Passo 3

Para a convergência condicional olhamos a série original, que é alternante com termos ak =(-1)^k+1bk e bk=k^2/ln k>0. Um requisito mínimo é
limktoinftyak = 0
Mas como bktoinfty, temos limktoinftyak não existe (os ak oscilam e crescem em módulo). Logo nem o teste de divergência é satisfeito, e a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge; não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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