Calcule a integral do campo vetorial F(x, y, z) = y*z*i + x*j + 3*y^2*k sobre a superfície do sólido limitado por x^2 + y^2 = 4, z = x - 3 e z = x + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral do campo vetorial sobre a superfície do sólido limitado por , e . Para isso, vamos usar o conceito de Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. Vamos precisar calcular a divergência do campo e depois integrar isso sobre o volume definido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo sobre a superfície é igual à integral do divergente de sobre o volume limitado por . Então, nosso primeiro passo é encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de :
Calculando cada derivada:
ã
ã
ã
Então:

Passo 4

Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
Isso significa que a integral de superfície que queremos calcular também é zero, segundo o Teorema da Divergência.

Resposta

A integral do campo vetorial sobre a superfície do sólido dado é igual a 0.

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