Calcule a integral do campo vetorial
sobre a superfície do sólido limitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral do campo vetorial
sobre a superfície do sólido limitado por
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície com uma integral de volume. Vamos precisar calcular a divergência do campo
e depois integrar isso sobre o volume definido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo
sobre a superfície
é igual à integral do divergente de
sobre o volume
limitado por
. Então, nosso primeiro passo é encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
:
Calculando cada derivada:
Então:
Passo 4
Com a divergência sendo zero, a integral de volume fica:
Isso significa que a integral de superfície que queremos calcular também é zero, segundo o Teorema da Divergência.
Resposta
A integral do campo vetorial
sobre a superfície do sólido dado é igual a 0.