Calcule a integral do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, 0) ao longo do cone
M^{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z^{2}=x^{2}+y^{2} ; 0<z<1\right\}
cuja a normal em cada ponto tem a terceira componente negativa.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec F(x,y,z)=(-y,x,0) através do cone
M^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z^2=x^2+y^2,\;0<z<1\},
com a normal escolhida de modo que a componente em z seja negativa. Em outras palavras, precisamos calcular
\iint_{M}\vec F\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Parametrizamos o cone em coordenadas cilíndricas rasas: seja
\varphi(r,\theta)=(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r),
com r\in(0,1) e \theta\in[0,2\pi]. Assim \varphi(r,\theta) percorre todo o cone entre o ápice e a geratriz em z=1.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
\phi_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \phi_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial dá a orientação natural (terceira componente positiva):
\phi_r\times\phi_\theta =(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r).

Passo 4

Como queremos a normal com componente z negativa, tomamos
d\mathbf S =-\,(\phi_r\times\phi_\theta)\,dr\,d\theta =(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;-r)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Expressamos \vec F na parametrização e fazemos o produto escalar:
\vec F(\varphi(r,\theta)) =(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0),
\vec F(\varphi(r,\theta))\cdot d\mathbf S =(-r\sin\theta)(r\cos\theta)+(r\cos\theta)(r\sin\theta)+0\cdot(-r) =0.

Passo 6

Como o integrando é zero, a integral de superfície também é zero:
\iint_{M}\vec F\cdot\mathbf{n}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}0\,dr\,d\theta =0.

Resposta

0

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